Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Для обсуждения: задача С4 из книги Математика. Сборник тренировочных работ под редакцией А.Л. Семёнова и И.В. Ященко. -М.: МЦНМО, 2009. - 72 с.
С4. Противолежащая основанию вершина равнобедренного треугольника с боковой стороной 5 и основанием 6 служит центром данной окружности радиуса 2. Найдите радиус окружности, касающейся данной и проходящей через концы основания треугольника.
Пусть основание треугольника АВ, С - вершина, Н- середина отрезка АВ
Центр окружности, проходящей через основание АВ, будет лежать на серединном перпендикуляре к отрезку АВ, а потому на прямой СН. Таким образом, СН - линия центров данных окружностей, а значит, точки касания будут лежать на СН. Окружность с центром в точке С пересекает прямую СН в двух точках D и F, именно они и будут являться точками касания окружностей и соответствовать двум случаям - внешнему и внутреннему касанию.
1 случай
Окружности касаются внешним образом, точка касания D.
В этом случае, СН=4, DH=2
Нужный радиус можно найти несколькими способами
1) как радиус окружности, описанной около треугольника ADB, по формуле R=abc/4S (стороны треугольника и его площадь легко находятся)
2)как радиус окружности, описанной около треугольника ADB, по формуле R=a/2sinα=DB/2sin∠DAH
3) из треугольника AHO, используя теорему Пифагора:AO=DO=R, откуда ОН=R-2, АН=3
4)...
ответ: R=13/4
2 случай
Окружности касаются внутренним образом, точка касания F.
В этом случае FH=6
Способы нахождения радиуса окружности те же
Ответ: 15/4
С4. Противолежащая основанию вершина равнобедренного треугольника с боковой стороной 5 и основанием 6 служит центром данной окружности радиуса 2. Найдите радиус окружности, касающейся данной и проходящей через концы основания треугольника.
Пусть основание треугольника АВ, С - вершина, Н- середина отрезка АВ
Центр окружности, проходящей через основание АВ, будет лежать на серединном перпендикуляре к отрезку АВ, а потому на прямой СН. Таким образом, СН - линия центров данных окружностей, а значит, точки касания будут лежать на СН. Окружность с центром в точке С пересекает прямую СН в двух точках D и F, именно они и будут являться точками касания окружностей и соответствовать двум случаям - внешнему и внутреннему касанию.
1 случай
Окружности касаются внешним образом, точка касания D.
В этом случае, СН=4, DH=2
Нужный радиус можно найти несколькими способами
1) как радиус окружности, описанной около треугольника ADB, по формуле R=abc/4S (стороны треугольника и его площадь легко находятся)
2)как радиус окружности, описанной около треугольника ADB, по формуле R=a/2sinα=DB/2sin∠DAH
3) из треугольника AHO, используя теорему Пифагора:AO=DO=R, откуда ОН=R-2, АН=3
4)...
ответ: R=13/4
2 случай
Окружности касаются внутренним образом, точка касания F.
В этом случае FH=6
Способы нахождения радиуса окружности те же
Ответ: 15/4
