На окружности отметили 2021 точку и провели 2021 отрезок с концами в отмеченных точках. После этого вычислили количество различных точек, в которых пересекаются проведённые отрезки (концы отрезков не считаются точками пересечения). Найдите наибольшее количество точек пересечения, которое могло получиться. |  |
Через точку $F(1; 1)$ координатной плоскости проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Одна из прямых пересекает правую ветвь гиперболы $y = \frac{1}{2x}$ в точках $A$ и $C$ (у $C$ абсцисса больше, чем у $A$). А другая прямая пересекает левую ветвь этой гиперболы в точке $B,$ а правую --- в точке $D.$ Произведение проекций отрезков $AC$ и $BD$ на ось абсцисс равна $m.$ Найдите площадь невыпуклого четырёхугольника $ABCD.$ | |
Дана последовательность натуральных чисел $a_1, a_2, a_3, ...,$ члены которой при каждом натуральном $i \ge 3$ удовлетворяют равенству \[ a_{i+1} = a_i + \text{НОД}(a_{i-1}, a_{i-2}). \] Докажите, что существуют такие натуральные числа $N$ и $M,$ для которых при всех $n \ge N$ верно равенство $a_{n+1} - a_n = M.$ | |
Дана последовательность $a_1, a_2, ..., a_n$ натуральных чисел. Для каждого $\ell$ от 1 до $n - 1$ нашли следующие наборы: $(\text{НОД}(a_1, a_{1+\ell}), \text{НОД}(a_2, a_{2+\ell}), ..., \text{НОД}(a_n, a_{n+\ell})),$ где все индексы берутся по модулю $n,$ т.е. если $s > n,$ то $a_s = a_{s-n}.$ Оказалось, что все найденные наборы состоят из одних и тех же $n$ попарно различных чисел и различаются, возможно, порядком их следования. Выясните, может ли $n$ быть равно а) 21; б) 2021. | |
Найдите все натуральные числа `a`, для которых найдётся многочлен `p(x)` с целыми коэффициентами, удовлетворяющий равенствам ` p(\sqrt2 + 1) = 2 - \sqrt2`, ` p(\sqrt2 + 2) = a.` | |
Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $X$ и $Y.$ Через точку $Y$ проведены две прямые, одна из которых повторно пересекает окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно, а другая --- в точках $C$ и $D$ соответственно. Прямая $AD$ повторно пересекает окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Оказалось, что $YP = YQ.$ Докажите, что описанные окружности треугольников $BCY$ и $PQY$ касаются друг друга. | |
Даны $n \ge 2$ различных целых чисел, больших $-a,$ где $a$ --- натуральное число. Оказалось, что среди них количество нечётных чисел равно наибольшему чётному числу, а количество чётных --- наибольшему нечётному числу. а) Найдите наименьшее возможное значение $n$ при всех $a.$ б) Для каждого $a \ge 2$ найдите наибольшее возможное значение $n.$ | |
На полуокружности с диаметром $AB$ и центром $O$ отмечена точка $D.$ Точки $E$ и $F$ --- середины меньших дуг $AD$ и $BD$ соответственно. Оказалось, что прямая, соединяющая точки пересечения высот треугольников $ADF$ и $BDE,$ проходит через точку $O.$ Найдите градусную меру угла $AOD.$ | |
Через точку $F(0; \frac14)$ координатной плоскости проведены две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающие параболу $y = x^2$ в точках $A,$ $B,$ $C$ и $D$ (точки названы в порядке возрастания их абсцисс). Разность проекций отрезков $AD$ и $BC$ на ось абсцисс равна $m.$ Найдите площадь четырёхугольника $ABCD.$ | |
Дано натуральное число $n.$ На отрезке $[0, n]$ числовой прямой отметили $m$ различных отрезков с целочисленными концами. Оказалось, что среди этих отрезков нельзя выбрать несколько отрезков суммарной длины $n,$ объединение которых совпадало бы со всем отрезком $[0, n].$ (Два отрезка считаются различными, если у них не совпадают пары концов. Смещать отрезки запрещено.) Найдите максимально возможное значение числа $m.$ | |
Докажите, что для любого натурального числа все его натуральные делители можно расположить по кругу так, чтобы среди любых двух соседних делителей один делился на другой. | |
Существует ли многочлен $p(x)$ с целыми коэффициентами, удовлетворяющий равенствам $p(\sqrt2) = \sqrt2$ и $p(2\sqrt2) = 2\sqrt2 + 2?$ | |
Докажите, что для любого натурального числа $n$ существуют взаимно простые натуральные числа $a$ и $b$ такие, что при всех $k$ от 1 до $n$ числа $a + k$ и $b + k$ не являются взаимно простыми. | |
Дан треугольник $ABC,$ в котором $\angle CAB = 30^\circ$ и $\angle ACB = 60^\circ.$ На продолжении луча $AB$ за точку $B$ выбирается произвольная точка $D,$ а на продолжении луча $CB$ за точку $B$ отмечается точка $E$ такая, что $\angle BDE = 60^\circ.$ Прямые $AC$ и $DE$ пересекаются в точке $F.$ Докажите, что описанная окружность треугольника $AEF$ проходит через некоторую фиксированную точку, отличную от $A$ и не зависящую от выбора точки $D.$ | |
Даны $n \ge 2$ различных целых чисел, больших $-10.$ Оказалось, что среди них количество нечётных чисел равно максимальному чётному числу, а количество чётных --- максимальному нечётному числу. а) Найдите наименьшее возможное значение $n.$ б) Найдите наибольшее возможное значение $n.$ | |
