600931 Mareike fährt mit dem Fahrrad von Adorf nach Bedorf, Nina fährt dieselbe Strecke in die andere Richtung. Beide fahren zur selben Zeit los. Nach 21 Minuten sind sie 20 km voneinander entfernt. Nach weiteren 35 Minuten sind sie 12 km voneinander entfernt; zu diesem Zeitpunkt ist keine bereits an ihrem Ziel angekommen. Beide fahren die gesamte Strecke mit konstanter Geschwindigkeit, die beiden Geschwindigkeiten können sich aber unterscheiden.

Bestimmen Sie alle Möglichkeiten für die Gesamtlänge der Strecke von Adorf nach Bedorf. Geben Sie dabei jeweils auch geeignete Geschwindigkeiten für Mareike und Nina an.

См. 601031

600933 Die Marsmenschen haben eine zu unserem gregorianischen Kalender sehr ähnliche Zeitrechnung. Auch sie teilen das Jahr in 12 Monate ein, von denen jeder eine bestimmte Anzahl von Tagen hat, die für den betrachteten Monat jedes Jahr gleich ist mit einer Ausnahme: Manche (aber nicht alle) Jahre sind Schaltjahre, und in diesen hat der zweite Monat des Jahres einen Tag mehr als in Nicht-Schaltjahren.

Über die genaue Länge der einzelnen Marsmonate ist nichts bekannt; man weiß allein, dass jeder Monat mehr als 12 Tage hat. Je 7 aufeinanderfolgende Tage werden zu einer Woche zusammengefasst, die Wochentage wiederholen sich periodisch und heißen wie bei uns.

Für $1 \le t, m \le 12$ und $t \ne m$ bezeichnen wir den $t$-ten Tag des $m$-ten Monats als Spiegeltag, falls er in jedem Jahr auf denselben Wochentag fällt wie der $m$-te Tag des $t$-ten Monats.

a) Beweisen Sie, dass es bei den Marsmenschen mindestens 6 Spiegeltage gibt.
b) Bestimmen Sie alle Spiegeltage in dem bei uns üblichen gregorianischen Kalender.

См. 601032

600934 Wir betrachten die durch die Gleichung \[ f_a(x) = x^2 - 2ax + 5a^2 - 12a \] gegebene Funktionenschar mit reellem Parameter $a.$

a) Bestimmen Sie alle diejenigen Werte für $a,$ für welche die Funktion $f_a(x)$ genau zwei verschiedene Nullstellen hat.
b) Bestimmen Sie unter allen Werten für $a,$ für welche die Funktion $f_a(x)$ genau zwei verschiedene Nullstellen hat, diejenigen, für welche der Abstand dieser Nullstellen maximal ist.

См. 601034

600935 Zur diesjährigen MO-Bundesrunde haben sich Teammitglieder aus den beiden Bundesländern Obersachsen-Holstein (OH) und Anhalt-Südrhein (AS) ein Tippspiel überlegt: Jeder Teilnehmer soll für jedes der beiden Bundesländer vorhersagen, wie viele Punkte von dessen Team insgesamt erreicht werden. Hierbei werden nur positive ganze Zahlen als Tipps akzeptiert.

Ein Tipp für ein einzelnes Bundesland wird daran gemessen, um wie viel Prozent das tatsächliche Ergebnis vom gegebenen Tipp abweicht. Ist beispielsweise für ein Bundesland der Tipp 240 Punkte und das tatsächliche Ergebnis 300 Punkte, so ist der Absolutbetrag der Abweichung 60 (Punkte) und der Fehler gleich 25\%. Ist der Tipp 300 Punkte und das tatsächliche Ergebnis 240 Punkte, so ist der Absolutbetrag der Abweichung ebenfalls 60 (Punkte), aber der Fehler gleich 20\%.

Für jeden Teilnehmer wird auch ein Gesamtfehler durch die Formel \[\frac {\text{Summe der Absolutbeträge der Abweichungen bei den beiden Bundesländern}} {\text{Summe der getippten Punktzahlen für die beiden Bundesländer}} \cdot 100 \% \] berechnet.

a) Zeigen Sie, dass der Gesamtfehler jedes Teilnehmers mindestens so groß ist wie das Minimum seiner Fehler bei den beiden einzelnen Bundesländern und höchstens so groß wie das Maximum seiner Fehler bei den beiden einzelnen Bundesländern.
b) Angenommen, bei jedem der beiden Bundesländer macht Tippspielteilnehmer Anton einen kleineren Fehler als Tippspielteilnehmerin Berta. Kann es sein, dass Berta trotzdem einen kleineren Gesamtfehler hat als Anton?
c) Wie lautet die Antwort auf die Frage aus Teil b), wenn bei jedem Tipp der Fehler für einzelne Bundesländer als \[ \frac {\text{Absolutbetrag der Abweichung}} {\text{Tatsächlich erreichte Punktzahl}} \cdot 100 \% \] und für jeden Teilnehmer der Gesamtfehler durch \[ \frac {\text{Summe der Absolutbeträge der Abweichungen bei den beiden Bundesländern}} {\text{Summe der tatsächlich erreichten Punktzahlen für die beiden Bundesländer}} \cdot 100 \% \] berechnet werden? Gehen Sie hierbei davon aus, dass kein Bundesland mit 0 Punkten nach Hause fahren muss.

Hinweis: Jeder Teilnehmer kann, wie bei den Mathematik-Olympiaden üblich, eine Punktzahl $p$ erreichen, wobei p eine ganze Zahl mit $0 \le p \le 40$ ist.


Для федерального раунда МО в этом году члены команд из двух федеральных земель Верхняя Саксония-Гольштейн (OH) и Ангальт-Зюдрейн (AS) придумали игру с предсказаниями: каждый участник должен предсказать для каждой из двух федеральных земель, сколько всего очков будут набраны командой. В качестве предсказания принимаются только положительные целые числа.

Для каждой земли и каждого предсказателя рассчитывается процент отклонения фактического результата от предсказания. Например, если предсказанный результат команды, представляющей землю, равен 240, а фактический результат --- 300, то абсолютная величина отклонения равна 60 и ошибка равна 25\%. Если предсказание равно 300, а фактический результат --- 240, то абсолютная величина отклонения равна также 60, но ошибка равна 20\%.

Вычисляется и общая ошибка для каждого предсказателя по формуле \[ \frac {\text{Сумма абсолютных отклонений результатов для двух земель}} {\text{Сумма очков, предсказанных для двух земель}} \cdot 100 \%. \]

$a$) Покажите, что общая ошибка каждого предсказателя не меньше минимума его ошибок для каждой из двух земель и не больше максимума его ошибок для каждой из двух земель.
$b$) Предположим, что предсказатель Антон по каждой из земель допустил меньшую ошибку, чем предсказательница Берта. Могло ли получиться так, что общая ошибка Берты меньше общей ошибки Антона?\\
$c$) Каким будет ответ на вопрос $b$), если ошибка для каждой земли вычисляется с помощью выражения \[\frac {\text{Абсолютная величина отклонения}}{\text{Фактически набранное количество очков}} \cdot 100 \%,\] а общая ошибка для каждого предсказателя вычисляется с помощью выражения \[ \frac {\text{Сумма абсолютных отклонений результатов для двух земель}}{\text{Сумма очков, набранная двумя землями}} \cdot 100\%? \] Предположим, что ни одна команда, которая представляет землю, не возвращается домой с 0 очков.

Примечание: Как обычно на олимпиадах по математике, каждый участник может набрать $p$ очков, где $p$ --- целое число и $0 \le p \le 40$.

600932 Gegeben sei ein Quadrat $ABCD$ mit der Seitenlänge 1. Ferner sei $E$ ein Punkt auf der Strecke $AD$. Die Strecke $\overline{BE}$ sei ein Durchmesser eines Kreises $k.$ Der Kreis $k$ schneide die Diagonale $\overline{BD}$ in einem von $B$ verschiedenen Punkt $S$ und berühre die Quadratseite $\overline{CD}$.

Berechnen Sie die Länge der Strecke $\overline{AE}$ und den Flächeninhalt des Dreiecks $EBS$.

Дан квадрат $ABCD$ со стороной длины 1. Точка $E$ лежит на отрезке $\overline{AD}$. На отрезке $\overline{BE}$ как на диаметре построена окружность $k.$ Окружность $k$ пересекает диагональ $\overline{BD}$ в отличной от $B$ точке $S$ и касается стороны квадрата $\overline{CD}$.

Найдите длину отрезка $\overline{AE}$ и площадь треугольника $EBS$.

600936 Wir betrachten in dieser Aufgabe eine gerade quadratische Pyramide. Im Inneren dieser Pyramide liege ein Würfel, der mit seiner Grundfläche auf der Grundfläche der Pyramide steht. Weiterhin sollen die Eckpunkte der Deckfläche des Würfels auf den Seitenkanten der Pyramide liegen.

Die Länge der Grundkanten der Pyramide wird im Folgenden mit $a,$ die Länge ihrer Höhe mit $h$ und schließlich die Länge der Würfelkanten mit $b$ bezeichnet.

a) Zeigen Sie, dass dann die Gleichung $b = \frac {a\cdot h}{a+h}$ gilt.
b) Geben Sie ein Beispiel an, bei dem $a,$ $h$ und $b$ positive ganze Zahlen sind und die Gleichung aus Teil a) gültig ist.
c) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $b$ alle Paare $(a, h)$ positiver ganzer Zahlen, wenn $b$ eine Primzahl ist und die Gleichung aus Teil a) erfüllt sein soll.

В этой задаче рассматривается правильная четырехугольная пирамида. Внутри этой пирамиды находится куб, основание которого находится на основании пирамиды. Кроме того, угловые точки верхней поверхности куба лежат на боковых ребрах пирамиды.

Длина боковых ребер пирамиды равна $a,$ длина ее высоты равна $h$, а длина ребра куба равна $b$.

$a$) Покажите, что $b = \frac {a\cdot h}{a+h}$.
$b$) Приведите пример натуральных чисел $a,$ $h$ и $b$, удовлетворяющих пункту $a$).
$c$) Выразите все пары натуральных $(a, h)$ как функцию от $b$, если $b$ --- простое число и $a,$ $h$, $b$ удовлетворяют пункту $a$).