"Решить уравнение в обобщенных функциях
`(x - 1)(x - 2)y'' = P(1/x^2)`"
Вообще есть у кого какая литературка по этому? Находил лекции по обобщенным функциям, но проблема в том, что из лекций далеко не всегда понятно, как что-то решать. А примеров я тоже не нашел...
`(x - 1)(x - 2)y'' = P(1/x^2)`"
Вообще есть у кого какая литературка по этому? Находил лекции по обобщенным функциям, но проблема в том, что из лекций далеко не всегда понятно, как что-то решать. А примеров я тоже не нашел...
-
-
20.05.2017 в 00:25`\prod_{i = 1}^{k} (x - a_i)^{\n_i} * f = 1`
то решение записывалось бы в виде
`f = P(1/(\prod_{i = 1}^{k} (x - a_i)^{n_i})) + \dots`?
-
-
20.05.2017 в 00:34Осталось теперь найти решение дифференциального уравнения где `y'' = f`
-
-
20.05.2017 в 00:45Ага ну хорошо, там вы ссылку дали)) Только, с вашего позволения, наверное завтра (уже сегодня по моим часам
Не хочется дезинформировать вас.
Да вроде это логично выглядит. Ну это решение. Да и если что All_ex может что-то заподозрит и скажет))
А так, безусловно, большое вам спасибо с All_ex, очень помогаете мне))
-
-
20.05.2017 в 11:55`y'' = 0`
Здесь решение
`y = Ax + B`
Если `E(x) = \theta(x) * (Ax + B)`
Тогда решением уравнения будет
`E * f = \theta(x) * (Ax + B) * (P1/(x^2(x - 1)(x - 2)) + C_1*\delta(x - 1) + C_2*\delta(x - 2) + C_3*\delta(x) + C_4*\delta'(x))`
Так? Или я что-то не так понял?
-
-
20.05.2017 в 12:00`(E * f)(x) = int E(t) * f(x - t) dt`
-
-
20.05.2017 в 12:13Ну там написан пример
`L = d^2/(dx^2) - 1 => E(x) = \theta(x) * sinh(x)`
Как это решилось? Не понимаю, как с этими функционалами работают. Вот если его применить к `y`, то
`Ly = y'' - y`
Общее решение однородного уравнения `y'' - y = 0` это
`y = C_1 * e^x + C_2 * e^-x`
Хотя отсюда можно получить конечно `sinh(x)`, если `C_1 = 1/2`, `C_2 = -1/2`. Но это же только при определенных константах.
-
-
20.05.2017 в 14:31Попробую объяснить у нас имеется `L g = h`. У нас есть следующее свойство дельта функции. Для любой обобщенной функции `g` : `g ** delta(x) = g`. Поэтому мы хотим найти такую функцию `E`, чтобы `LE = delta`, т.к. после мы сможем применить свёртку и получить ` L (E ** h) = h`, т.е. `g = E ** h`.
По поводу почему они взяли `sinh(x)`. Нам нужно, чтобы `u` - было решением однородного дифференциального уравнения
`Lu = u^((m))+a_1(x)u^((m-1)) + ... + a_m(x) u =0`,
удовлетворяющее начальным условиям
`u(0) = u'(0) = ... = u^((m-2)) (0) = 0, u^((m-1)) (0) = 1`
Тогда `E(x) = theta(x) u(x)`, такая, что `LE = delta`. Это можно проверить применив оператор `L` к `E`
-
-
20.05.2017 в 14:53`m = 2` => `y'(0) = 1; y(0) = 0`
`y'(0) = C_1 = 1`
`y(0) = C_2 = 0`
`{(C_1 = 1), (C_2 = 0):} => E(x) = \theta(x) * x`
Так?
А насколько я понял из примера, частным решением моего уравнения будет интеграл
`int_{0}^{+\infty} x * f(x - t) dt`
-
-
20.05.2017 в 15:04`y(0) = 0 => c_1+c_2 =0`
`y'(0) = 1 => y'(x) = c_1 e^(x) -c_2 e^(-x) => y'(0) = c_1 - c_2 =1`
Из данной системы, как раз получаем,что `c_1 = 1/2` и `c_2 = -1/2`
-
-
20.05.2017 в 15:08-
-
20.05.2017 в 15:11В таком случае общее решение исходного уравнения будет в виде
`y = C_1x + C_2 + int_{0}^{+\infty} x * f(x - t) dt`?
-
-
20.05.2017 в 15:14-
-
20.05.2017 в 15:32Остался только вопрос, что делать при интегрировании функционалов. Ну, насколько я понял, все `\delta` перейдут в `\theta`, `\delta'` перейдет в `\delta`. Вот что делать с `P`... Ну вообще, насколько я знаю, `P1/(x^2)` переходит в `-P1/x`. А вот куда будет переходить `P1/x` при интегрировании по икс? Ну я просто в общем виде взял. Понятно, что там интегрирование по `t` и там будет `P1/(x - 2 - t)`
-
-
20.05.2017 в 17:54Но там ведь не чистые функции стоят, а ещё домноженные на что - то. Например по поводу дельта функций ` theta(x)*x ** c_1 delta(x-1) = c_1 theta(1)*1 = c_1`.
Это я к тому, что не понял почему `delta` перейдёт в `theta`
-
-
20.05.2017 в 18:40-
-
20.05.2017 в 19:14-
-
20.05.2017 в 21:09`int_{0}^{+\infty} t * (P1/((x - t)^2(x - 1 - t)(x - 2 - t)) + c_1\delta(x - 1 - t) + c_2\delta(x - 2 - t) + c_3\delta(x - t) + c_4\delta'(x - t)) dt`
Как я понимаю, удобнее разбить на сумму дробей. Тогда, ну возьмем первое слагаемое:
`1/2int_{0}^{+\infty} t * P1/((x - t)^2) dt`
если разбить дробь `1/((x - t)^2(x - 1 - t)(x - 2 - t))` на сумму дробей...
И как эту штуку с функционалом интегрировать?
И да, когда вы показывали, что произойдет со слагаемым после свертки... Откуда там единица взялась? От того, что
`(\delta(x - 1), \phi) = \phi(1)`?
-
-
22.05.2017 в 20:52И да, когда вы показывали, что произойдет со слагаемым после свертки... Откуда там единица взялась?
Это я вас ввёл в заблуждении, на самом деле там надо пользоваться тем, что `E ** delta(x - x_0) = E(x-x_0)`
-
-
22.05.2017 в 22:37Тогда, ну возьмем первое слагаемое:
Тут, в принципе, можно справиться методом замены. ну скажем
`Pt/((x - t)^2) = P(-1 * ((x - t)/((x - t)^2) - x/((x - t)^2)))` (если мы можем внести t под функционал)
Дальше просто `x - t = p` и можно заканчивать.
А вот дельты таки будут переходить в теты?