среда, 13 июня 2012
00:00

Интегральный признак Коши.

все записи пользователя в сообществе Alastrina
Carpe diem.
Добрый вечер. Нужно исследовать на сходимость ряд `sum_(n=2)^oo 1/(n*(ln n)^2)`. Я правильно понимаю, что здесь нужно использовать интегральный признак Коши?
У меня получается следующее:
`f(n)=1/(n*(ln n)^2)`
`f(x)=1/(x*(ln x)^2)`
`int_2^oo dx/(x*(ln x)^2)=int_2^oo (d(ln x))/((ln x)^2)=lim_(n->oo) int_(ln 2)^(ln n) (d(ln x))/((ln x)^2)=lim_(n->oo) (-1/ln x)|_(ln2)^(lnn)=lim_(n->oo) (- 1/ln(lnn)+1/ln(ln2))=1/ln(ln2)`

Вопрос: что из этого следует?

@темы: Ряды

URL
Комментарии
13.06.2012 в 00:04

_ТошА_
Всё должно быть сделано настолько простым, насколько это возможно, но не проще. А. Энштейн
следует сходимость ряда
URL
13.06.2012 в 00:08

Alastrina
Carpe diem.
_ТошА_, почему? С чем сравнивать получившийся результат?
URL
13.06.2012 в 00:10

_ТошА_
Всё должно быть сделано настолько простым, насколько это возможно, но не проще. А. Энштейн
Лемма говорит о том, что при некоторых условиях на общий член ряда, сх-ть данного ряда равносильна сх-ти интеграла
URL
13.06.2012 в 00:21

Alastrina
Carpe diem.
Это я понимаю. Почему интеграл сходится?
URL
13.06.2012 в 00:36

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
Alastrina, Вы ведь сами вычислили предел, и он получился конечным.
Это и означает сходимость интеграла.
URL
13.06.2012 в 00:36

~ghost
=))Alastrina, не в обиду, но такими вопросами Вы даже меня испугаете.. (не говоря уже о Тоше..)
Вы только что нашли, что интеграл имеет конечное значение `= 1/ln(2) ~~1.44` {только у Вас там почему-то 2 логарифма `ln(ln(...))`..} — получили конечное значение, НЕ бесконечность => интеграл сходится ( к этому значению ) => исходный ряд сходится тоже..
URL
13.06.2012 в 00:39

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
~ghost, :tease2: )))
URL
13.06.2012 в 00:40

~ghost
Да, доброй ночи всем)
Дилетант, обогнали))
URL
13.06.2012 в 00:41

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
~ghost, доброй))
и спокойной)
ухожу спать.
URL
13.06.2012 в 00:42

Alastrina
Carpe diem.
Дилетант, ~ghost, спасибо) Я с этими рядами с пяти вечера сижу, и даже такие вещи стали ставить меня в тупик.
только у Вас там почему-то 2 логарифма
потому что в пределе `ln x`, а `x` это `ln2`
URL
13.06.2012 в 00:46

~ghost
Дилетант, )))
Alastrina, если Вы сделали замену `t= ln(x)`, то и пределы поменяли `t in (ln(2); +infty)`,
или без замены - тогда и пределы те же, что и были.. (`x in (2; +infty)`).
URL
13.06.2012 в 00:51

Alastrina
Carpe diem.
~ghost, и еще раз спасибо! Я бы и не заметила(
URL
13.06.2012 в 02:48

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Так к слову... хоть и понятно, что опоздал...
Alastrina, надеюсь Вы не забыли показать, что `f(x)` убывающая (то есть условие применимости интегрального признака)...
URL
13.06.2012 в 03:09

Alastrina
Carpe diem.
All_ex, показала. В примере изначально проверялся пр. Лейбница, так что убывание функции указано)
URL
13.06.2012 в 03:12

~ghost
"не будите меня".. =)) Откуда здесь взялся признак Лейбница ?
URL
13.06.2012 в 03:22

Alastrina
Carpe diem.
~ghost, т.к. задание изначально было исследовать на сходимость ряд `sum_(n=2)^oo (-1)^n/(n*(lnn)^2)` По пр. Лейбница: ряд знакочередующийся, члены ряда монотонно убывают и общий член ряда стремится к нулю, => ряд сходится. По инт. пр. Коши ряд модулей сходится, значит, исходный ряд сходится абсолютно.
URL
13.06.2012 в 03:31

~ghost
Поняла. Только, по-моему, достаточно было написать как раз про сходимость ряда из модулей элементов (тогда и "сам по себе" знакопеременный ряд тоже сходится - « любой абсолютно сходящийся ряд является сходящимся » ). Это если бы расходился ряд из модулей - т.е. если бы не было абсолютной сходимости - тогда надо было бы проверять условную сходимость (т.е. сходимость самого знакоперем. ряда) - если ряд из модулей расходится, то сам знакопеременный может еще оказаться сходящимся (условно).
А вот про монотонное убывание ф-ии `f(x) = 1/(x*(ln(x))^2)` - да, надо написать (если о признаке Лейбница до этого не говорилось - то напишите это для интегрального признака Коши)

P.S. sorry) я исчезла.
URL