Приведите, пожалуйста первоисточник задачи.
Если `cos(ACB) = (4-sqrt(2))/6`, то угол ACB больше `pi/3`, и угол B треугольника ABC острый, что противоречит условию.

Доброго вечера, доброй ночи всем.
VEk, извините что вмешиваюсь)) там вроде синус ( `sin(ACB)= (4-sqrt(2))/6 ` ), и угол где-то "25 с половиной" градусов.. (вроде может быть ?..)

Вообще сейчас попробовала решить - не глядя на приведенное выше решение. « Точка L равноудалена от прямых ...» - это же означает, что `CL` - биссектриса, т.е. сразу `AC = 4x` и `BC=3x`, и по теореме синусов `(3x)/(sin45) = (4x)/(sin(135-2*gamma))` {где `(2*gamma)`= угол `ACB`} => получается ур-ие `3*(sin(2*gamma) + cos(2*gamma)) = 4` - однородное триг ур-ие, из которого `tg(gamma) = (3+sqrt(2))/7` или `tg(gamma) = (3-sqrt(2))/7`, а нужен `sin(2*gamma) =(2*tg(gamma))/(1 + tg^2(gamma))`. И получаются ОБА ответа.. И `sin(2*gamma) = (4+sqrt(2))/6` и `sin(2*gamma) = (4 - sqrt(2))/6`. И я пока не понимаю, почему должен быть только один из них..=(
Дошло. `sin(2gamma) =(4+sqrt(2))/6` отбрасываем именно потому, что тогда угол где-то "64 с половиной" ( в градусах) => тупого угла уже не будет..

VEk, задача со вступительного экзамена на психфак МГУ в 94 году, взята в "Математика - абитуриенту" Ткачука.

Я просто не понимаю, какимм образом получается ответ вида `(4 - sqrt(2))/6`. Получается, у меня полностью решение неправильное?

~ghost, « Точка L равноудалена от прямых ...» - это же означает, что CL - биссектриса, т.е. сразу
простите, почему биссектриса?

)) « геометрическое место точек (плоскости) равноудаленных от сторон угла - это биссектриса этого угла »
like_ship, не исчезайте пока) Ваше решение я еще не прочитала
(а то, что написано у меня выше - это "геометрия без геометрии", там же просто тригонометрическое ур-ие и триг. формулы.. хотелось бы как-то решить, не используя тригонометрию аж так сильно..)

P.S. Спасибо, что сказали, откуда задача=) читать дальшемне тоже хотелось спросить, где это вместо "точка K - середина отрезка `AB`" — пишут: "точка `K`- точка равноудаленная от концов отрезка, и лежащая на отрезке"

~ghost, а, извините, я как-то привык к школьному определению про углы. Спасибо, что напомнили.

конечно, биссектриса - делит угол пополам ("школьное определение", и не только школьное..=))), но и то, что она же - геом. место точек, равноудаленных от сторон угла - и такое свойство тоже есть

like_ship, вообще-то Вы начинали хорошее "геометрическое" решение ( в отличие от того "ужаса" с тригонометрией, который написала я ); у Вас в решении - "слова" не те, но само решение "то".. Только нужен рисунок...
1) Пусть L пересекает прямые AC и СВ в точках М и N, соответственно. — нет, `L` - это точка, она ничего не пересекает =)
это из этой точки можно провести... (прямую(ые), так, чтобы были пересечения). Проводим из точки `L` перпендикуляры `LM`_|_`AC` и `LN`_|_`BC` (кстати, это будут 2 разные прямые, а не одна ..)
2) Т.е. это должно было бы быть "первое". тупоугольный треугольник ABC — КАКОЙ угол тупой - `B` или `C` ? ( из условия этого сразу не видно, там только угол `A` =45)
Нарисуйте ОБЕ картинки - с тупым углом `B` и с тупым углом `C`. Ваше решение (пусть с "исправленными" словами - но там вобщем было верно) - это только для одного случая, когда тупой угол - это угол `C`. И при данных цифрах "это невозможно" - получив `sin(B) = (2*sqrt(2))/3` уже можем сказать, что угол `B` около 70 градусов => `A + B ~~ 115` => угол `C` острый (и треуг-к остроугольный - не подходит)
А дальше - тот случай, когда тупой угол - угол `B`. Тогда высота `LN`_|_` BC` будет "за пределами" треугольника `ABC`, и если `sin(LBN) = (2*sqrt(2))/3`, и `cos(LBN) = 1/3`, то `cos(ABC) = - cos(LBN)= -1/3` (еще раз: рисунок)) там видно будет, что углы `LBN` и `ABC` как раз не совпадающие, а смежные..)

~ghost, решал, конечно, с рисунком, просто, увы, нет возможности его здесь привести. Но вот да, у меня угол C как раз был тупым, мне как-то не пришло в голову про другую возможность, к сожалению. Перерешаю для другого случая, думаю, станет понятно.

Вообще, как я понимаю, в таких случаях, когда говорится, что треугольник тупоугольный, и неясно, какой именно из углов тупой, лучше делать параллельно два рисунка и, соответственно, рассматривать по двум чертежам, пока решение не позволит внести ясность и отбросить один из вариантов?

1) Пусть L пересекает прямые AC и СВ в точках М и N, соответственно. — нет, - это точка, она ничего не пересекает =)
это из этой точки можно провести... (прямую(ые), так, чтобы были пересечения). Проводим из точки перпендикуляры _|_ и _|_ (кстати, это будут 2 разные прямые, а не одна ..)
вы правы, здесь я с формулировкой перемудрил )) хорошо хоть суть понятна осталась.

лучше делать параллельно два рисунка — ох, даже не "лучше", а обязательно
(все (или почти все) С4 были на этом построены: по 2 возможных случая)

Вобщем, была "обычная" задача - со сложной формулировкой..
А выглядит так:
если угол C тупой (то это не подойдет)
все было бы хорошо - но при данных цифрах "так не получится" - угол C не будет тупым..

и если угол B тупой ( а это решение) получится только вот так:

~ghost, о как. Спасибо вам огромное за заботу и такие отличные чертежи. Кстати, если не секрет: а в какой программе вы их строили?

я так понимаю, что здесь, если бы не было оговорки, что треугольник тупоугольный (или остроугольный, еслиб задача была другая), первый вариант вполне имел бы место быть, но при этом "подвохом" была бы как раз возможность второго случая, и в принципе, с задачами такого типа лучше рассматривать все возможные варианты, даже если нет указания на тип треугольника, а если есть - то и вовсе обязательно?

Картинки нарисовала в GeoGebra читать дальше(наберите в Google - она скачивается свободно, если уже установлена Java)
А вот лучше рассматривать все возможные варианты — да, и это обязательно =( Т.е. вообще всегда надо искать "какие (еще) могут быть варианты", и - по-моему - это просто стало « очень модно» ( "многовариантность в задачах", особенно по геометрии..)