вторник, 12 июня 2012
03:36

все записи пользователя в сообществе Hammer.nv
Будет ли отображение `f` сжимающим в полном пространстве `X`. Если да, то найти его неподвижную точку.
`X = [1, 2]`, `f(x) = (x^2 + 2)/(2x)`

Как лучше всего показать, что отображение будет сжимающим?
Соответственно, если оно будет сжимающим, то неподвижная точка будет принадлежать пространству `X`.

@темы: Функциональный анализ, Множества

URL
Комментарии
12.06.2012 в 03:58

VEk
Белый и пушистый (иногда)
Можно по определению: 1) показать, что `f(x) subseteq X`; 2) `EE alpha<1`, такое, что `forall x_1,x_2 in X` выполняется `|f(x_2)-f(x_1)| <= alpha*|x_2-x_1|`
URL
12.06.2012 в 08:07

Epygraph
Hammer.nv, Достаточно доказать, что модуль производной данной функции не более `1/2<1`.
URL
12.06.2012 в 08:43

_ТошА_
Всё должно быть сделано настолько простым, насколько это возможно, но не проще. А. Энштейн
т. Лагранжа о среднем
URL
12.06.2012 в 14:19

Hammer.nv
VEk, спасибо.
Epygraph, а почему именно не более `1/2`?
_ТошА_, т.е. надо найти такие `a` и `b` при которых значение `|((f(b) - f(a))/(b-a))|` не входило в множество `X`? И тогда мы докажем, что отображение не будет сжимающим.
URL
12.06.2012 в 14:29

Epygraph
Hammer.nv, Найдите производную и сразу увидите, что производная принимает значения между нулем и `1/2`.
URL
12.06.2012 в 15:01

Hammer.nv
Epygraph, да, действительно. `|1/2 - 1/x^2| < 1/2`
`1/2` - неподвижная точка.
Т.е. получается, в подобных заданиях стоит проверить, что модуль производной функции не более какого-либо числа из `[0, 1)`?
URL
12.06.2012 в 15:04

VEk
Белый и пушистый (иногда)
Неподвижная точка несколько другая.
URL
12.06.2012 в 15:06

Hammer.nv
VEk, хм. А как тогда вычислить неподвижную точку? Я думал, `|f(x)'|<a`, `a` - и будет неподвижной точкой.
URL
12.06.2012 в 15:09

VEk
Белый и пушистый (иногда)
Я думал, , - и будет неподвижной точкой.

Почему Вы так думали? Где-то прочитали?
URL
12.06.2012 в 16:02

Epygraph
Неподвижная точка отображения определяется из уравнения `f(x)=x` (определение).
URL
12.06.2012 в 17:25

Hammer.nv
VEk, да, оплошал. :hmm:

Чтобы найти неподвижную точку, приравняю значение `f(x)` к `x`:
`(x^2 + 2)/(2x) = x; x^2 = 2; x = sqrt(2)`
`x = sqrt(2)` - неподвижная точка отображения.
Правильно?
URL
12.06.2012 в 17:44

Epygraph
Из двух неподвижных точек данной функции только одна находится на отрезке `[1;2]`. На интервале `(1;2)` производная положительна, `f(1)=3/2`, `f(2)=2`. Следовательно, `f([1;2])\subset [1,2]`.
URL
12.06.2012 в 17:51

Hammer.nv
Epygraph, ну так ведь `f(sqrt(2)) = sqrt(2)`, `sqrt(2) in [1, 2]`
И `f(2) = 3/2`, а не `2`.
URL
12.06.2012 в 18:52

Epygraph
Hammer.nv, Вы правы, монотонности у `f` на данном отрезке нет. По значениям в крайних точках и критической точке получается `f([1;2])=[\sqrt{2};3/2]\subset[1;2]`.
URL
12.06.2012 в 18:57

Epygraph
Далее, как указывали _ТошА_ и VEk, по теореме Лагранжа `|f(x_1)-f(x_2)|\le \frac{1}{2}|x_1-x_2|`.
URL
12.06.2012 в 20:34

Hammer.nv
Epygraph, ага, спасибо. Кстати, а из чего следует, что если `forall` `x in [a, b]` `f'(t) <= c < 1`, то отображение `f : [a, b] -> [a, b]` является
сжимающим отображением?
URL
12.06.2012 в 20:45

Epygraph
Модуль у производной поставьте и снова примените теорему Лагранжа. Без модуля сжимаемость не гарантируется. Неподвижные точки есть у любого непрерывного отображения отрезка в себя.
URL