Вы лихо делите на нуль

Задача намного проще решается с помощью графической иллюстрации.
Строим графикb `y_1=|x+3|-4` и `y_2=a|x-1|`. Очевидно, что первый график проходит через точку (1;0). Второй график также проходит через эту точку. Поварьируйте коэффициентом `a`, посмотрите что будет получаться.

VEk, согласен, графически будет проще.. а все же, можете указать на мои недочеты?

PMtime, Вам уже указали.
Вы лихо делите на нуль
Например, вот часть вашего решения
`x in (1;+oo) -> x+3-ax+a=4``<=>``x=(1-a)/(1-a)=1``=>``1 !in(1;+oo)`
Но уравнение `(1-a)x=1-a` надо решать аккуратнее.
При `a=1` имеем `0*x=0` Решением его является любое число х. Поскольку Вы рассматриваете промежуток (1;+oo), то все х из него будут решениями.
При `a!=1` Вы правильно сделали вывод - решений на (1;+oo) не будет.
Аналогично с другими промежутками
Возможно, вычленив а=1,-1, надо просто отдельно их исследовать и выяснить, вообще какие там получаются решения у уравнения
А то Вы написали, `x=-3 => a=-1` и что?
Ведь Ваша задача выяснить, что будет при этом а, а не наоборот.

При аналитическом решении удобно вводить ось параметров
Почитать можно, например в книге Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия
eek.diary.ru/p54055042.htm#

Здесь можно не рассматривать граничные точки отдельно, а включить их в одну из областей, а можно и в обе. Для многих задач это упрощает жизнь. То, что варианты будут не взаимоисключающиеся, не помешает дальнейшей логике.
Первый случай: пропущено значение a=1. В этом случае получаем бесконечный интервал решений вместе с граничной точкой.
Третий случай: то же при a=-1.

Последнее я не очень понял. Логика перебора вариантов различных значений a не описана.

Поправил:
`x>=1 -> x(1-a)=1-a``=>``a=1 -> x in[1;+oo); a!=1 -> x=1`
`x in[-3;1] -> x(a+1)=a+1``=>``a=-1 -> x in[-3;1]; a!=-1 -> x=1`
`x<-3 -> x(a-1)=a+7``=>``a=1 -> 0!=8; x=(a+7)/(a+1), a in(-1;1)`
`|a|>1 -> x=1; |a|<1 -> x=1; x=(a+7)/(a+1); a=1 -> x>=1; a=-1 -> x in[-3;1]`

`x={a+7}/{a-1}`

Чееерт. Опечатался, а исправить нельзя..

У меня вышло так:
При `a in (-oo, -1)uuu(1, oo) \ \ \ \ \ \ \ x = 1`
При `a = -1 \ \ \ \ \ \ \ x in [-3, 1]`
При `a in (-1, 1) \ \ \ \ \ \ \ x = (a+7)/(a-1)`
При `a = 1 \ \ \ \ \ \ \ x in [1, oo]`

Euler86, при `a in (-1;1)` получается `x=1` или `x=(a+7)/(a-1)` (возьмите а=0, например)