10 чисел многовато. Давайте возьмем числа от 1 до 4. Можем ли мы из разбить на такие группы (1, 3) и (2, 4)?

Новый гость

Что такое Теория поля?

Гость Исправил.

10 чисел многовато. Давайте возьмем числа от 1 до 4. Можем ли мы из разбить на такие группы (1, 3) и (2, 4)?
Нет, потому что 3 не делится на 8, а 8 не делится на 3.

Вообще-то сказано, что произведение чмсел 1-й группы делится на произведение чисел 2-й группы.
Хорошо, а такие группы ( 1, 2, 3) и (4)? и почему?

Тоже нет, потому что 6 не делится на 4.

А как можно разделить эти 4 числа?

Новый гость

Возьмем 7. В какую из двух групп Вы бы включили ее?

Если так сделать:
(1, 3, 4) и (2),
(3, 4) и (1, 2),
(2, 3, 4) и (1).

Гость Давайте пока не будем усложнять задачу ( в смысле, более простой вариант).

VEk Я должен сделать какой-то вывод?

Да , конечно, надо делать вывод. Почему 3 нельзя поместить во 2-ю группу, почему 4 нельзя поместить во 2-ю группу?

Буду думать.

4 нельзя поместить во вторую группу, потому что в первой не будет `2^2`. 3 нельзя поместить во вторую, потому что нет чисел, которые бы делились на 3.

Вот это правильно. Теперь самое время вернуться к основной задаче. Но (помним новое правило). Поэтому сначала `((5sinx-2)(2sinx-3))/sqrt(cosx)=0`. Решить уравнение, решение представить полностью.

`((5sinx-2)(2sinx-3))/(sqrt(cosx))=0`.
ОДЗ:
`cosx>0`.
`(5sinx-2)(2sinx-3)=0`,
`5sinx-2=0` или `2sinx-3=0`.
1. `5sinx-2=0`,
`sinx=2/5`,
`x=(-1)^n *arcsin(2/5)+pin`, `n in ZZ`.
2. `2sinx-3=0`,
`sinx=3/2`,
пустое множество (не знаю, как сделать символ).
Проведём отбор корней с помощью тригонометрической окружности.
С учётом ОДЗ получаем `x=arcsin(2/5)+2pin`, `n in ZZ`.
Ответ: `{arcsin(2/5)+2pin|n in ZZ}`.

Теперь самое время вернуться к основной задаче.

Новый гость В случае 2 надо объяснять почему вдруг получилось пустое множество. Лично я предпочитаю, чтобы было написано решений нет и объяснено почему.

Вывод из простой задачи.
Разложим все данные числа на простые множители и как-то разобьем их на группы. Тогда в первой группе произведение чисел будет равно `p_1^(alpha_1)p_2^(alpha_2)...p_k^(alpha_k)`, а во второй группе `q_1^(beta_1)q_2^(beta_2)...q_n^(beta_n)`. В каком случае произведение чисел в первой группе будет делиться на произведение чисел во второй группе?

объяснено почему Это очевидно. `|sinx| <= 1`.

Когда первое произведение будет включать в себя второе.

Когда первое произведение будет включать в себя второе.
Повторите это на языке простых множителей.

Это очевидно. |sinx|≤1.
Смотря кому? Вы никогда не видели решений типа `x=(-1)^n*arcsin 4+pin`? Я регулярно вижу.

Повторите это на языке простых множителей.
Это слишком сложно.
Возможно, так:
`p_1^(alpha_1)*p_2^(alpha_2)*...*p_k^(alpha_k)=(q_1^(alpha_1)*q_2^(alpha_2)*...*q_n^(alpha_n))*N`.

Что делать дальше?

Это слишком сложно. Не так, чтобы сложно. Скорее непривычно.
Вывод: Каждое из чисел набора `{q_i},i=1,..,n` входит в набор `{p_j}, j=1,...,k`, причем показатель степени у соответствующего числа `p` не меньше показателя степени у равного ему числа `q`.
Попытайтесь осмыслить эту фразу (вывод) и только после ее полного понимания приступайте к исходной задаче.
Ну и для разминки еще задачка `log_2 x+log_x2 <= 1+cos(pix)`. Решить неравенство.

Опять какие-то посторонние задачи...
`log_2 x + log_x 2 <= 1+cos(pix)`,
ОДЗ:
`x in (0;1)uu(1;+oo)`.
`log_2 x + 1/(log_2 x) <= 1+cos(pix)`,
1. `x in (0;1)`.
`log_2 x < 0`,
`log_2 x + 1/(log_2 x)<=-2`,
`0 <= 1+cos(pix) <= 2`
Неравенство будет выполняться при всех `x in (0;1)`.
2. `x in (1;+oo)`,
`log_2 x > 0`,
`log_2 x + 1/(log_2 x) >= 2`,
`0 <= 1+cos(pix) <= 2`.
Неравенство выполняется только если
`{(log_2 x + 1/(log_2 x)=2),(1+cos(pix)=2):}`, `{(log_2 x=1),(cos(pix)=1):}`, `{(x=2),(x=2n),(n in ZZ):}`, `x=2 in (1;+oo)`.
Ответ: `x in (0;1)uu{2}`.

Попытайтесь осмыслить эту фразу (вывод) и только после ее полного понимания приступайте к исходной задаче.
Осмыслить не получилось. Объясните, пожалуйста.

А что по задаче?

Новый гость По поводу предложенной задачи - молодец. Но это не посторонняя задача, а необходимый для Вас тренинг.
Давайте вернемся к нашей маленькой задаче. Имеем `1*2*3*4=2^3*3^1`. Как поделить числа на две группы? У тройки показатель степени 1, поэтому ее - в первую группу, у двойки показатель степени 3, поэтому во вторую группу можно отправить 2 в не более, чем в первой степени. Получаем наборы {2, 3, 4} и {1} или {3, 4} и {2} (единицу в этом случае можно поместить в любой набор, она не влияет на результат).Во втором случае произведение чисел в 1-м наборе равно `2^2*3^1`, а во втором `2^1`. Двойка входит в множество простых делителей произведения чисел первого набора, причем показатель ее степени не превосходит показателя степени у двойки в произведении чисел первого набора.

В первое произведение простой множитель `p` входит с показателем степени `alpha`, а во второе `alpha-n`.
`1=1` - вообще можно не принимать во внимание.
`2=2^1`,
`3=3^1`,
`4=2^2`,
`5=5^1`,
`6=2^1*3^1`,
`7=7^1`,
`8=2^3`,
`9=3^3`,
`10=2^1*5^1`.

Итак, если перемножить все числа, то:
1) двойка будет в степени 8. 8 - чётное число, поэтому если в первое произведение она входит в степени `alpha`, то во второе сможет входить в наибольшей степени, равной `alpha`. Значит, в 1-й группе в степени 4, во второй 4.
2) тройка будет в степени 4. Аналогично п.1) в 1-й группе `3^2`, во 2-й `3^2`.
3) общая степень 5-и равна 2: 1 и 1.
4) 7 в первой степени: 1 и 0.

Первое произведение: `A=2^4*3^2*5*7=2*4*6*3*5*7`
второе произведение: `B=2^4*3^2*5=8*10*9`
`A/B=7`.

Ответ верный.

Скажите, пожалуйста, как всё вышеизложенное оформить грамотно?

Разложим все числа от 2 до 10 на простые множители (обычно говорят - найдем каноническое разложение эти чисел). Далее найдем разложение на простые множители произведения всех чисел: оно имеет вид `2^8*3^4*5^2*7`
Так как 7 входит в произведение с показателем 1, то для того, чтобы произведение чисел в первой группе нацело делилось на произведение чисел во второй, 7 должно обязательно входить в первую группу.
Пусть `P` произведение чисел первой группы за исключением числа 7, `Q` произведение чисел второй группы. Тогда `PQ=2^8*3^4*5^2`
Частное `(7P)/Q` от деления чисел первой группы на произведение чисел второй группы будет наименьшим тогда и только тогда, когда `P/Q=1`, то есть когда `P=Q=2^4*3^2*5`
Покажем, что такие группы чисел существуют ...

Всем спасибо за помощь.

Надеюсь, что идею вы уловили!
Пусть есть набор чисел `{a_i, i=bar(1,n)}`. И надо разделить его на два набора так, чтобы произведения чисел в первом наборе делилось на произведение чисел второго набора, причем полученное частное принимало минимальное из возможных значений. (Это условие.)
Разложим все числа набора на простые множители и перемножим полученные разложения. Получим `p_1^(alpha_1)*p_2^(alpha_2)*...*p_k^(alpha_k)`. Понятно, что если часть чисел из набора поместить во вторую группу, и перемножить отобранные числа, то получится `q_1^(beta_1)q_2^(beta_2)...q_n^(beta_n)`, причем все `q_i` входят в набор чисел `{p_j}`. Если показатели степеней четные, то стараемся максимально снизить разность показателей степеней простых множителей в обеих группах, если нечетные, то также снижаем разность, но при этом смотрим, чтобы в первой группе показатель у соответствующего числа был не меньше, чем во второй группе. Обязательно надо привести пример, показывающий, что указанная оценка достижима.

Это были рассуждения в общем виде. А теперь рассуждения на примере. Пусть есть набор чисел {2, 3, 6, 7, 8, 12} и его надо разбить указанным образом на 2 группы. Получаем в произведении `2^7*3^3*7^1`. Пытаемся разделить с минимальной разностью показателей степеней: 1-й набор `2^4*3^2*7^1`, второй - `2^3*3^1`. Пытаемся получить указанные показатели степеней произведения: {3, 6, 7, 8} и {2; 12}. Минимальное значение отношения произведений чисел наборов равно 42.

Когда все это оформляете, сначала пишите разложения чисел на множители, получаете произведение в виде разложения. Фактически переписываете общие рассуждения со слов "Понятно, что" до слова "Обязательно". Потом пишите: "При этом значение выражения будет таким ..." и приводите его оценку (для примера `2*3*7`). Затем фраза: "Покажем, что указанная оценка достигается" и приводите пример, подтверждающий это , т.е. разбиение чисел на 2 набора и результат отношения произведения чисел.

И вдогонку еще одна задачка. Решить систему: `{((y^2-y-2)sqrt(x-3)=0),((2x^2-7x+5)sqrt(2y-3)=0):}`. Успехов!

`{((y^2-y-2)*sqrt(x-3)=0),((2x^2-7x+5)*sqrt(2y-3)=0):}`.
ОДЗ:
`{(x-3 >= 0),(2y-3 >=0):}`,
`{(x >= 3),(y >= 1.5):}`.
Решим первое уравнение:
`(y^2-y-2)*sqrt(x-3)=0`,
`y^2-y-2=0` или `sqrt(x-3)=0`.
1. `y^2-y-2=0`,
`D=(-1)^2-4*(-2)=9`,
`y_1=(1-3)/2=-1` `!in` ОДЗ.
`y_2=(1+3)/2=2` `in` ОДЗ.
2. `sqrt(x-3)=0`,
`x-3=0`,
`x=3` `in` ОДЗ.
Решим второе уравнение:
`(2x^2-7x+5)*sqrt(2y-3)=0`,
1. `2x^2-7x+5=0`,
`2x^2-2x-5x+5=0`,
`2x(x-1)-5(x-1)=0`,
`(x-1)(2x-5)=0`,
`x_1=1` `!in` ОДЗ.
`x_2=2.5` `!in` ОДЗ.
2. `sqrt(2y-3)=0`
`2y-3=0`,
`y=1.5` `in` ОДЗ.
Второе уравнение верно только при `y=1.5`.
Ответ: `(3; 1.5)`.

Довольно запутанная система.

Ещё раз всем спасибо.