понедельник, 21 марта 2011
13:40

ФКП

все записи пользователя в сообществе TERAB1T
Здравствуйте, помогите, пожалуйста, решить четыре примера:
1.) Найти образ мнимой оси при отображении с помощью функции `omega = bar z + z`
2.) Найти образ действительной оси при отображении с помощью функции `omega = bar z + z`
3.) Исследовать на дифференцируемость, найти производную и исследовать на аналитичность функцию `omega=y^2 - 2ixy`
4.) Исследовать на дифференцируемость, найти производную и исследовать на аналитичность функцию `omega=e^(iz)`

@темы: Комплексные числа, ТФКП

URL
Комментарии
21.03.2011 в 14:04

VEk
Белый и пушистый (иногда)
1,2 Запишите `z=x+iy`и посмотрите, что получится.
URL
21.03.2011 в 14:07

Гость
Пример для 1-2

URL
21.03.2011 в 14:16

Гость
По 3-4 со страницы eek.diary.ru/p58347080.htm# скачайте книгу
Пантелеев А.В., Якимова А.С. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах: Учебное пособие. — М.: Высш. шк., 2001
и читайте со страницы 90 (там с примерами)
URL
21.03.2011 в 14:18

TERAB1T
`omega=bar z + z`=`omega = x-iy+x+iy`=`omega=2x+i(y-y)`, то есть `u=2x`, а `v=0`?
URL
21.03.2011 в 14:27

VEk
Белый и пушистый (иногда)
Да. Так что получается с осями? Каковы уравнения действительной и мнимой осей?
URL
21.03.2011 в 16:18

TERAB1T
получается что действительная ось, это `y=c` ,а мнимая `x=c` ? тогда должно выйти
`x=c` -> `u=2c`, `v=0`
`y=c` -> `u=2x`, `v=0` ?
URL
21.03.2011 в 16:24

VEk
Белый и пушистый (иногда)
Действительная ось имеет уравнение `y=0`, а мнимая `x=0`. Что сделает преобразование `w` с мнимой осью?
URL
21.03.2011 в 16:25

Гость
Скан это только пример (для образца).
А Вас VEk спрашивает каково уравнение оси ОY (мнимая ось) и оси ОХ (действительная ось)
URL
21.03.2011 в 16:33

TERAB1T
Хм. Тогда по логике
1.) `u=0`; `v=0`
2.) `u=2x`; `v=0`?
URL
21.03.2011 в 16:57

VEk
Белый и пушистый (иногда)
И какой можно сделать вывод? Словами.
URL
21.03.2011 в 17:05

TERAB1T
Что в первом случае будет точка, а во втором прямая, идущая по оси u?
URL
21.03.2011 в 17:09

VEk
Белый и пушистый (иногда)
В первом случае действительно точка. Т.е преобразование `w` любую точку мнимой оси переводит в начало координат. По-поводу п.2 думайте. Как преобразуется ось?,
URL
21.03.2011 в 17:15

TERAB1T
Ничего не идет в голову, кроме прямой. Сместится на 2х?
URL
21.03.2011 в 17:23

VEk
Белый и пушистый (иногда)
Была точка `(x;0)`, стала точка `(2x;0)`. Даже в школе проходят это преобразование.
URL
21.03.2011 в 17:34

TERAB1T
И что это нам дает?
URL
21.03.2011 в 17:36

TERAB1T
Растяжение графика от оси y в два раза
URL
21.03.2011 в 17:45

VEk
Белый и пушистый (иногда)
Естественно. Но вопрос в задании - найти образ. Образ - действительная ось . И все.
URL
21.03.2011 в 17:47

TERAB1T
Спасибо. Теперь будем разбираться с 3-4.
URL
21.03.2011 в 18:00

VEk
Белый и пушистый (иногда)
Только сначала берите книгу и читайте ее.
URL
21.03.2011 в 18:17

TERAB1T
Начнем с третьего:

`u(x, y)=y^2`
`v(x, y)=-2xy`

`(du)/(dx)=0`; `(dv)/(dx)=-2y`
`(du)/(dy)=2y`; `(dv)/(dy)=-2x`

Дальше применим критерий дифференцируемости КРЭД:
`(du)/(dx)=(dv)/(dy)`; `(du)/(dy)=- (dv)/(dx)`
получим
`{(-2x=0),(2y=2y):}`, то есть функция дифференцируема при `x=0`; `y` - любое число.
`f'(z)=0-i2y=-i2y`
Верно?
URL
21.03.2011 в 18:31

VEk
Белый и пушистый (иногда)
Это верно.
URL
21.03.2011 в 18:40

TERAB1T
а вот 4 сложнее...
`e^(iz)=cosz+isinz`
`e^(iz)=cos(x+iy)+isin(x+iy)` так?
`u=cos(x+iy)` `v=sin(x+iy)` подскажите, что дальше? заменять по этим формулам - `sin(x+iy)=sinx cosiy+ cosx siniy` и `cos(x+iy)=cosx cosiy-sinx siniy` ?
URL
21.03.2011 в 18:49

VEk
Белый и пушистый (иногда)
В №3 еще был вопрос про аналитичность.
URL
21.03.2011 в 18:54

TERAB1T
К аналитичности вернемся позже, пока бы производную из 4го найти.
URL
21.03.2011 в 18:57

VEk
Белый и пушистый (иногда)
К аналитичности вернемся позже Если Вы думаете, что я буду у компа до скончания века...

`z=x+iy`, `iz=ix-y`, `e^(iz)=e^(-y)*e^(ix)=e^(-y)*(cosx+isinx)`. Вот с этого и начнем.
URL
21.03.2011 в 19:22

TERAB1T
`z=e^(-y)*cosx+i*e^(-y)*sinx`
`u=e^(-y)*cosx` `v=e^(-y)*sinx`
`(du)/dx=e^(-y)*(-sinx)` `(du)/dy=-e^(-y)*cosx`
`(dv)/dx=e^(-y)*cosx` `(dv)/dy=-e^(-y)*sinx`
`(du)/dx=dv/dy` -> `e^(-y)*(-sinx)=-e^(-y)*sinx` можно ли сократить на `-e^(-y)`
URL
21.03.2011 в 19:25

TERAB1T
тогда получается что `sinx=sinx` и `cosx=-cosx` ?
URL
21.03.2011 в 19:26

VEk
Белый и пушистый (иногда)
можно ли сократить на `-e^(-y)`. А зачем? Чем это Вам мешает?
URL
21.03.2011 в 19:29

TERAB1T
получается `x` и `y` -любое число?
URL
21.03.2011 в 19:31

VEk
Белый и пушистый (иногда)
Да, а вывод?
URL