Добрый вечер!
Проверьте, пожалуйста, несколько номеров! А то я не усну, пока не пойму, где ошиблась
1.`int_0^(pi/4) dx/(cosx(1+cosx))`
замена `t=tg(x/2)`, `dx=2dt(1+t^2)`, `cosx = (1-t^2)/(1+t^2)`,
тогда `int_0^(tgpi/8) 2dt/((1+t^2)(1-t^2)/(1+t^2)(1+(1-t^2)/(1+t^2))) = int_0^(tgpi/8) 2dt(1+t^2)/(2-2t^2) = int_0^(tgpi/8) (1+t^2)dt/(1-t^2) = int_0^(tgpi/8) (-1 + 2/1-t^2)dt = -t +ln|(1+t)/(1-t)| = 1-sqrt2+ln |sqrt2-1|`
2.`int_sqrt2^(2sqrt2) (sqrt(x^2-2)dx)/x^4`
замена `x=sqrt2/sint`, `dx=-sqrt2cost/(sint)^2`
тогда `int_(pi/6)^(pi/2) (sqrt(2/(sint)^2 - 2)(-sqrt2cost/(sint)^2)dt)/(4/sint) = -int_(pi/6)^(pi/2) 2(cost)^2dt/(2(sint)^2) = -1/2int_(pi/6)^(pi/2)(ctg(t))^2dt = -1/2int_(pi/6)^(pi/2) 1/(sint)^2-1 = -1/2(-ctg(t)-t) = sqrt3/2 - pi/6`
3. Найти площадь фигуры, ограниченной `y=x/(x^2+1)^2`, `y=0`,`x=1`
`S=int_0^1 x/(x^2+1)^2`
Замена `(x^2+1)=t`, `2xdx=dt`
Тогда `int_1^2 dt/(2t^2) = 1/2int_1^2 dt/t^2 = -1/6t^(-3) = 7/48`