Здравствуйте, хочу кое-что уточнить
`TZ`
Найти все значения `a`, при которых квадратный трехчлен
`(a^2-1)x^2 + 2(a-1)x + 1` положителен для всех значений `x`.
[[/TZ]]
Ответ:`[1;+@@)`
Решение
Правильно ли я понимаю что, если `D>0` `(a<1)` , то значит все равно найдутся промежутки, где `x<0` , т.к. это же квадратный трехчлен. Значит `D<=0` `=>` `a>=1`.Спасибо.
`TZ`
Найти все значения `a`, при которых квадратный трехчлен
`(a^2-1)x^2 + 2(a-1)x + 1` положителен для всех значений `x`.
[[/TZ]]
Ответ:`[1;+@@)`
Решение
Правильно ли я понимаю что, если `D>0` `(a<1)` , то значит все равно найдутся промежутки, где `x<0` , т.к. это же квадратный трехчлен. Значит `D<=0` `=>` `a>=1`.Спасибо.
-
-
10.02.2011 в 13:01Отдельно рассмотрите случай, когда старший коэффициент равен нулю, т.е. выражение представляет собой линейное выражение, а не квадратный трехчлен.
Далее. Если дискриминант равен нулю, то это значит, что существует такой икс, при котором функция (выражение) обращается в нуль, что противоречит условию (положительные числа --- это такие числа, которые строго больше нуля).
-
-
10.02.2011 в 13:14Если `a=1`, то `0x^2 +0x + 1` , квадратный трехчлен положителен.
Если `a=-1`, то `0x^2-4x+1=-4x+1`
`-4x+1>0` при `x<1/4` `=>` `a=-1` - не родходит.
Так?
-
-
10.02.2011 в 13:19-
-
10.02.2011 в 13:27Верно
значит `a<=-1` , `a>=1`.
Неверно. Когда ветви направлены вверх, то старший коэффициент должен быть строго положительным, т.к. по определению квадратного трехчлена его старший коэффициент не может равняться нулю.
квадратный трехчлен положителен.
Только не квадратный трехчлен, а просто выражение, т.к. при `a=1` это уже не будет квадратным трехчленом.
Кстати, в связи с этим можно по-разному интерпретировать задание: если нужно, что бы обязательно был квадратный трехчлен, то старший коэффициент не может быть равен нулю, поэтому этот случай рассматривать не нужно (а от этого меняется конечный ответ).
Далее разбираетесь либо с дискриминантом, либо можете сделать так, как написал Heor.
P.S. В скрипте знак бесконечности пишется так: `infty` (infty) или `oo` (oo) (две английские малые буквы). Символом `@` делается выколотый кружочек (окружность) малого радиуса, обычно используется для обозначения градусов (с символом ^ до него).
-
-
10.02.2011 в 14:02Я вот попробовал сделать как Heor посоветовал но что-то не получается
Решение
-
-
10.02.2011 в 14:06-
-
10.02.2011 в 14:27Координата Вершины найдена не правильно.
-
-
10.02.2011 в 14:29-
-
10.02.2011 в 14:44Неравенство решено верно, теперь его надо пересечь с ранее полученными неравенствами: `a<-1`, `a>1` и получится искомое.
-
-
10.02.2011 в 14:45Извините. Я не правильно прочел ваше условие. Все верно.
-
-
10.02.2011 в 14:53`{(a<-1),(a>1),(a> -1):}` `iff` `a>1`
Как бы если именно квадратный трехчлен положителен, то `a in (1;+infty)`, если само выражение, то `a in [1;+infty)`.
-
-
10.02.2011 в 14:57-
-
10.02.2011 в 15:06Спасибо за помощь _nobody и Heor
-
-
10.02.2011 в 22:44Я бы хотел предложить вам следующий способ решения.
1.Рассмотрим случай вырождения. `a^2 -1=0 ` При `a=1` квадратный трёхчлен положителен при всех значениях переменной `x`.
2. Пусть `a^2 ` не равно `1`. Тогда умножим квадратный трёхчлен ` f(x)= ( a^2-1)*x^2+...` на старший коэффициент при `x^2`для того, чтобы парабола была ветвями вверх, т.е. `( a^2-1)f(x)= (a^2-1)^2*x^2+...`Подставим абсциссу вершины параболы `x=-1/(a+1)` и решим неравенство ` (a^2-1)*f(-1/(a+1))>0`Откуда `a>1`. Объединяя с `a=1` получим искомый результат.
-
-
10.02.2011 в 23:17`a^2 - 1` при `a!=1` отнюдь не всегда положителен... Так что в Вашем способе есть ошибка.
-
-
11.02.2011 в 00:59А этот коэффициент в нашей задаче не может быть отрицательным. Я подумал, что для всех абсолютно очевидный факт и даже не стал писать о том , что, если ветви параболы направлены вниз, то условие задачи никогда не выполняется, т.е. при `a^2-1<0` Поэтому, в принципе, достаточно и условия `f(-1/(a+1))>0`. И совсем не обязательно умножать на 1-й коэффициент, тем более он и так должен быть положительным для выполнения условия задачи. Так что, уважаемый Heor, ошибки нет, есть небольшая ремарка.
-
-
11.02.2011 в 09:49-
-
11.02.2011 в 10:51Это не ремарка. Это дополнительное условие на a. Которое нельзя упускать.
С ней решение становиться правильным, вот только, само умножение после введения условия перестает иметь смысл.
-
-
11.02.2011 в 14:04Согласен.
-
-
11.02.2011 в 14:10Я не предложил вам другого способа, просто подтвердил, то что высказал Heor. А что касается 2011-02-10 в 22:44 - умножение производить не стоит- так как это лишено смысла.