Докажите, что для любого целого числа $n$ существует уникальный многочлен $Q(x)$ с коэффициентами, принадлежащими множеству $\{0,1,\ldots,9\},$ такой, что $Q(-2)=Q(-5)=n.$ |  |
Последовательность $q_1,q_2,\ldots,$ состоящая из целых чисел, удовлетворяет двум условиям: (a) $m - n$ делит $q_m - q_n$ при $m>n \geq 0$ (b) Существует многочлен $P$ такой, что $|q_n| < P(n)$ для всех $n.$ Докажите, что существует многочлен $Q$ такой, что $q_n = Q(n)$ для всех $n.$ | |
Многочлен $P(z)$ с комплексными коэффициентами 1992 степени имеет различные нули. Докажите, что существуют комплексные числа $a_1, a_2, \ldots, a_{1992}$ такие, что $P(z)$ делит многочлен $\left( \cdots \left( (z-a_1)^2 - a_2 \right)^2 \cdots - a_{1991} \right)^2 - a_{1992}.$ | |
Найдите все натуральные числа `a`, для которых найдётся многочлен `p(x)` с целыми коэффициентами, удовлетворяющий равенствам ` p(\sqrt2 + 1) = 2 - \sqrt2`, ` p(\sqrt2 + 2) = a.` |  |
Существует ли многочлен $p(x)$ с целыми коэффициентами, удовлетворяющий равенствам $p(\sqrt2) = \sqrt2$ и $p(2\sqrt2) = 2\sqrt2 + 2?$ | |
Витя и Маша играют в игру. Сначала Витя загадывает три различных целых числа. За один раз Маша может спросить одну из следующих величин: либо сумму чисел, либо сумму попарных произведений чисел, либо произведение чисел, загаданных Витей. Маша задаёт вопросы последовательно, причём Витя даёт ответ до того, как будет задан следующий вопрос. а) Докажите, что Маша всегда может отгадать числа, загаданные Витей. б) За какое наименьшее число вопросов Маша гарантированно сможет это сделать вне зависимости от того, какие числа загадал Витя? | |
Многочлен $p(x)$ с целыми коэффициентами удовлетворяет равенству \[p(\sqrt2 + \sqrt3) = \sqrt2 - \sqrt3.\] а) Найдите все возможные значения $p(\sqrt2 - \sqrt3).$ б) Приведите пример хотя бы одного многочлена $p(x),$ удовлетворяющего условию. | |
Пусть $P(z)= z^n + c_1 z^{n-1} + c_2 z^{n-2} + \cdots + c_n$ многочлен с действительными коэффициентами $c_k$ и комплексной переменной $z$. Предположим, что $|P(i)| < 1$. Докажите, что существуют действительные числа $a$ и $b$ такие, что $P(a + bi) = 0$ и $(a^2 + b^2 + 1)^2 < 4 b^2 + 1$. | |
Пусть $p(x) = (1-x)^a(1-x^2)^b(1-x^3)^c\cdots(1-x^{32})^k$, где $a, b, \cdots, k$ --- целые числа. После приведения многочлена к стандартному виду оказалось, что коэффициент при $x^1$ равен $-2,$ а коэффициенты при $x^2$, $x^3$, ..., $x^{32}$ равны нулю. Найдите $k$. | |
Многочлен с действительными коэффициентами $x^3+ax^2+bx+c$ имеет три действительных корня $r\ge s\ge t.$ Покажите, что $k=a^2-3b\ge 0$ и $\sqrt k\le r-t$. | |
