задача С4 из книги Математика. Сборник тренировочных работ под редакцией А.Л. Семёнова и И.В. Ященко. -М.: МЦНМО, 2009. - 72 с.
С4. Прямая отсекает от сторон прямого угла отрезки a и b. Найдите радиус окружности, касающейся этой прямой и сторон угла.
(Специально не стала брать конкретные значения длин отрезков)
Решение. Здесь имеем два случая - случай вписанной и случай вневписанной окружностей.
1 случай.

Пусть АВ=a, АС=b
Решение основано на хорошо известной формуле: радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с, выражается формулой r=(a+b-c)/2
Действительно, пусть D- центр впис. окружности, а E, F, G - точки касания окружности со сторонами треугольника. Доказательство основано на следующих фактах: 1)DECF - квадрат со стороной r;
2) отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны между собой.
Тогда BF=BG=a-r, AE=AG=b-r. откуда AG+BG=c или a-r+b-r=c, а значит, r=(a+b-c)/2
2 случай

Выведем аналогичную формулу для случая вневписанной окружности. Программа GG расставила буквы чуть-чуть иначе по сравнению с первым случаем. О- центр, R - радиус вневписанной окружности, F, E, H - точки касания ее с сторонами прямоугольного треугольника. Как и в первом случае: 1)OFCH - квадрат со стороной R, 2)AF=AE, BH=BE. Однако в отличие от первого случая AF=R-b, BH=R-a
Тогда имеем АЕ+ВЕ=с, R-a+R-b=c, откуда R=(a+b+c)/2