Сразу скажу, что я не математик, я бы решала так:
Дано:
Четырёхугольник 'ABCD', имеющий две диагонали 'AC' и 'BD', пересекающиеся в точке 'О'.
Известны все углы у его вершин `ABC`, `BCD`, `CDA`, `DAB`  и ещё углы `OAD`, `OAB`, `OCB` и `OCD`.
Нужно найти:
Углы между диагоналями четырёхугольника: т.е., углы 'АОВ', 'АОD', 'DOC', 'COB'.

Я думаю, что решение данных задач станет возможно, если добавить условие, что в данном четырехугольнике одна пара связанных углов равна между собой.

В таком случае, мой вариант части решения:

Подсказка: 
читать дальшеТ.к. все диагонали в данном четырехугольнике пересекаются, то мы имеем дело  с выпуклым четырехугольником (в противном случае, все диагонали не смогли бы пересечься).
  Согласно свойству связанных углов выпуклого четырёхугольникаhttps://mathvox.ru/geometria/mnogougolniki/glava-2-chetirehugolniki-i-ih-svoistva/ugli-vipuklogo-chetirehugolnika-svoistvo-3/ "Если в выпуклом четырёхугольнике одна пара связанных углов равна,
 (Например, угол 'BCA' = углу 'BDA'),
то вторая пара связанных углов ('ABD' и 'АСD') также будут равны между собой.

  Если посмотреть на задачу шире, то, углы между диагоналями четырёхугольника (АОВ', 'АОD', 'DOC', 'COB') ОДНОВРЕМЕННО являются также углами треугольников ('АОB', 'BOC', 'COD', 'DOA').
 Что мы знаем о треугольниках?
"Сумма ВСЕХ УГЛОВ любого вида треугольников равна 180 градусам".

Поиск угла 'АОD'
Далее вычислим один из углов диагоналей четырехугольника (он же угол, входящий в состав одного из треугольников) на примере треугольника 'АOD':

Сумма всех углов треугольника 'OAD' = 
угол 'OAD' + угол 'ADO' + угол 'AOD'=180 градусов.

По условию задачи мы знаем:
1. Чему равен угол 'OAD' (согласно условию задачи).
Неизвестны углы 'ADO' и 'AOD'.

2. Вычисляем угол 'ADO':
Снова расширяем своё видение.
Мы знаем:
1. Чему равен угол 'CDA' (согласно условию задачи), составной частью которого является угол 'ADO'.
T. е., угол 'CDA' = угол 'AOD' + угол 'ADO'.

2. Вычисляем значение угла 'АDO':
Угол 'АDO' = углу 'BDA'.
Согласно свойству связанных углов выпуклого четырёхугольника:
угол 'BDA' = углу 'BCA', а угол 'ВСА' = углу "OCB'.
Т.о., угол 'ADO' = углу 'OCB' (значение угла 'OCB' мы знаем по условию задачи).

3. Угол 'AOD' = (угол 'ОAD' +угол 'АDO') - 180 градусов.
Поздравляем, первый угол 'АОD' - найден!.

Поиск угла 'DOC'
Треугольник 'DOC' имеет углы: 'ОСD', 'СDO'  и 'DOC'.
Мы знаем:
1. Чему равен угол 'ОСD' (по условию задачи).

2. Вычислим чему равен угол 'СDO':
Угол 'СDO' входит в состав угла 'CDA', вместе с углом 'АDO'.
Т.о., угол 'СDO' = угол 'СDA' - угол 'АDO'.
3. Вычислим чему равен угол 'DOC':
Угол 'DOC' = (угол 'OCD' + угол 'CDO') - 180 градусов.
и т.д.

> Я думаю, что решение данных задач станет возможно, если добавить условие, что в данном четырехугольнике одна пара связанных углов равна между собой.

Большое вам спасибо за ваш труд и предложенное решение, но вот такое условие я добавить, увы, не могу.

А почему без этого задача не решаемая? Диагональ четырёхугольника (горизонтальная) разбивает его на два треугольника. Треугольник однозначно определяется стороной и прилегающими к ней углами. Соответственно, эти два треугольника полностью определены. В теории, этой информации должно быть достаточно, чтобы найти неизвестные углы.

Может есть какой-то контрпример?

И, да, все кто хочет помочь мне с этой задачей, я очень благодарен вам, но я не хочу, чтобы вы тратили слишком много времени на меня. Нужны только идеи, до решения их, я думаю, смогу довести уже самостоятельно. А то я как-то капитально застрял, ломаю голову над простой задачкой уже несколько дней.

Не знаю, почему написалось от гостя. Если что, выше был я, и там я криво оформир цитирование, а поправить уже не могу.

geoquest, При этом очень хотелось бы избежать сложных тригонометрических манипуляций и получить простую арифметическую формулу.
манипуляций избежать можно... но совсем без использования тригонометрических функций в общем случае не обойтись...

приведу набросок решения с использованием метода координат...

начало координат в точке `A`... ось икс направим по диагонали `AC` ... не уменьшая общности можно считать, что `AC =1`... ось игрек направим в полуплоскость, где лежит точка `B`...
обозначим `/_ OAB = a`, `/_ OCB = b`...
пишем уравнения прямых `AB \ : \ y = x* tg a`, `BC \ : \ y = - tg b * (x - 1)` ...
решаем систему и находим координаты точки `B`...
затем аналогично находим координаты точки `D`... отношение координат вектора `BD` даёт тангенс угла между диагоналями...

из всей тригонометрии здесь только знание о том, что угловой коэффициент это тангенс угла наклона прямой...

ну, как-то так...

Через АС можно выразить длины всех необходимых отрезков, а потом использовать метод площадей.

geoquest, "А почему без этого задача не решаемая? Диагональ четырёхугольника (горизонтальная) разбивает его на два треугольника.
венно, эти два треугольника полностью определены.Треугольник однозначно определяется стороной и прилегающими к ней углами.  В теории, этой информации должно быть достаточно, чтобы найти неизвестные углы."

Я имела в виду, что задача нерешаема без использования тригонометрических функций. 

"Треугольник однозначно определяется стороной и прилегающими к ней углами." 

 Потому что согласно вашему же условию: мы можем расчитать большие треугольники 'АВС' и 'АDC', т. к. мы знаем в них все углы, включая прилегающие.
Другая ситуация с малыми треугольниками: 'AOD', 'AOB', DOC', 'COB': в них мы по условию знаем значения только ОДНОГО угла, т.к. в условии не сказано, что угол 'AOD' делит угол 'ADC' пополам.
Т. к. нам нужно найти все углы 'О', расположенные в малых треугольниках, то без использования тригонометрических функций я не знаю, как ёё решить.

Allenta morre, вас понял, спасибо. Значит придётся обратиться к тригонометрии.

Гость, возьму на заметку, спасибо.

All_ex, да, по вашему руководство вывел нужную формулу и всё сошлось. Большое спасибо!

Метод красивый, простой и, самое обидное, я же был рядом с ним, но его и не заметил. Наверно, несколько  отпугнуло то, что получаются достаточно громоздкие вычисления по пути к нему.

geoquest, welcome от всех...
...про углы `ADO` и прочие - ну, сумма углов треугольника же `180^o`... хотя уже видимо сами догадались...