Про вторую задачу... Подставьте в условия `f(x_0) = f'(x_0) = 0` Вашу функцию и посмотрите что получиться...

Про первую задачу.. =))
Если ищем касательную, которая проходила бы через точку `(x_0; y_0)` принадлежащую графику полинома (т.е. если заданная точка - и есть точка касания) - то там вообще всегда единственная касательная.. Извините.
Eсли заданная точка `(alpha; beta)` НЕ принадлежит графику полинома, то ур-ие касательной `Y - y_0 = y'(x_0)*(X - x_0)` (где `(x_0; y_0)` -точка касания) ищется как-то так: ищем `x_0` из условия, что касательная должна проходить через точку `(alpha; beta)`, т.е. будет ур-ие относительно переменной `x_0`:
`beta - y(x_0) = y ' (x_0)*(alpha - x_0)`, и здесь `y(x_0) = a_0 + a_1*x_0 + a_2*(x_0)^2 + a_3*(x_0)^3 + .... + a_n*(x_0)^n` - значение полинома в точке `x_0`
и `y ' (x_0) = a_1 + 2a_2*x_0 + 3a_3*(x_0)^2 + ..... + n*a_n*(x_0)^(n-1)`- значение производной от этого полинома в этой точке `x_0`;
подставив это в уравнение касательной - получим уравнение степени `n` относительно `x_0`,
а ур-ие `n` -ой степени имеет не более чем `n` корней => не более чем `n` разных точек касания, и соответственно, разных касательных, проведенных через `(alpha; beta)`
----------------------------------------------
UPD Пытаюсь исправиться (после комментариев All_ex =)) .. Даже если заданная точка `(alpha; beta)` принадлежит графику — все равно можно рассматривать кроме той (одной) касательной, которая касается графика в этой же точке, - еще и другие, которые являются касательными к графику, но в других точках касания ( а в заданной точке `(alpha; beta)` с графиком пересекаются). Тогда все эти "другие" касательные находим так же ( составляем ур-ие для нахождения точки касания `x_0`, и это будет ур-ие `n`-ой степени, имеющее не более, чем `n`, корней ( всё те же "не более чем `n` касательных" ); только если заданная точка `(alpha; beta)` сама принадлежит графику, то одним из корней `x_0` этого ур-ия будет `x_0 = alpha`)

~ghost, то там вообще всегда единственная касательная.. - она может касаться и в других точках... например, как к косинусоиде прямая `y=1`...

она может касаться и в других точках...
стоп) торможу..)) конечно, она может касаться и в других точках.. только там вроде же не об этом ? главное же, что других касательных (проведенных через одну и ту же точку касания) там не будет..
или я что-то не так поняла ? )

Ну, в других точках тоже может... то есть разные касательные могут... если идти от обратного - ведь касательная может пересечь график в другой точке...

All_ex поняла, о чем Вы.. первые 2 строки моего комментария —
Если ищем касательную, которая проходила бы через точку `(x0;y0)` принадлежащую графику полинома (т.е. если заданная точка - и есть точка касания) - то там вообще всегда единственная касательная.. — это можно было не записывать вообще..
почему-то "показалось", что если точка на графике - то "считаем" только прямые (т.е. одну прямую), которая будет касаться графика в этой же точке

если в той же самой точке `(x_0; y_0)` с графиком будут пересекаться другие прямые, являющиеся касательными к этому графику, но в других точках касания, - то это и не важно, т.к. это уже относится к случаю "записать ур-ие касательной, которая проходит через (заданную) точку, НЕ являющуюся точкой касания" (в тех моих обозначениях тогда точка - пусть даже она на графике - это `(alpha; beta)`, а для нахождения точки касания `x_0` - то самое ур-ие `n`-ой степени (только в этом случае одним из его решений будет `x_0 = alpha`))

т.е. просто все сводится к уравнению `n` -ой степени для нахождения точки касания ( и все равно не более `n` решений)

~ghost, All_ex, больше спасибо за помощь и хорошие объяснения! Все понятно.