вторник, 29 марта 2011
20:35

С6 (Лысенко)

все записи пользователя в сообществе Новый гость
Легко на самом деле выйти из дома в лес математики, но лишь немногие смогли оттуда вернуться. Гуго Штейнгауз
Условие:
Найдите все такие целые числа `x`, что `x^2=bar{a a b b c c}`, где `a`, `b` и `c` - некоторые цифры, `a !=0`.
Мысли по задаче:
читать дальше
Как решать дальше, нет мыслей. Скажите, пожалуйста, правильно ли всё, что написано, и как решать дальше.

@темы: Олимпиадные задачи, ЕГЭ, Теория чисел

URL
Комментарии
29.03.2011 в 20:50

Гость
с можно еще поисключать
URL
29.03.2011 в 21:35

Диана Шипилова
Quod erat demonstrandum
Гость прав. На самом деле есть только одно два возможных значения с.
URL
29.03.2011 в 22:03

Новый гость
Легко на самом деле выйти из дома в лес математики, но лишь немногие смогли оттуда вернуться. Гуго Штейнгауз
Я уже исключил 2, 3, 7, 8. Что дальше делать?
URL
29.03.2011 в 22:07

Диана Шипилова
Quod erat demonstrandum
Может ли полный квадрат заканчиваться, например, на 11?
URL
29.03.2011 в 22:09

Новый гость
Легко на самом деле выйти из дома в лес математики, но лишь немногие смогли оттуда вернуться. Гуго Штейнгауз
Не знаю.
URL
29.03.2011 в 22:18

Диана Шипилова
Quod erat demonstrandum
`(10x +- 1)^2 = ?`
URL
30.03.2011 в 02:48

Гость
Новый гость Докажите, что если последняя цифра числа "нечетна", то предпоследняя цифра квадрата всегда "четна".
URL
30.03.2011 в 09:52

Новый гость
Легко на самом деле выйти из дома в лес математики, но лишь немногие смогли оттуда вернуться. Гуго Штейнгауз
`(10x+-1)^2=100x^2+-20x+1`. Но что это даёт для решения? Последняя цифра - это 1. Предпоследнюю мы не знаем.
Докажите, что если последняя цифра числа "нечетна", то предпоследняя цифра квадрата всегда "четна". И как это сделать?
URL
30.03.2011 в 11:01

Диана Шипилова
Quod erat demonstrandum
И как это сделать?
:facepalm:
`100x^2 +- 20x + 1 = ((5x^2 +- x)*2)*10 + 1`.
Видно, что предпоследняя цифра делится на 2 при любом х.
URL
30.03.2011 в 20:43

Новый гость
Легко на самом деле выйти из дома в лес математики, но лишь немногие смогли оттуда вернуться. Гуго Штейнгауз
Видно, что предпоследняя цифра делится на 2 при любом х. Теперь понял. Предпоследняя цифра всегда чётная. Значит, последняя тоже чётная. Из оставшихся чётных - это или 0, или 4, или 6.
Всё равно остаётся очень много вариантов. Может быть, можно ещё какие-нибудь ограничения наложить?
URL
30.03.2011 в 20:46

Диана Шипилова
Quod erat demonstrandum
Предпоследняя цифра всегда чётная.
Нет!
Предпоследняя цифра всегда чётная, если последняя цифра — единица.
Чётность остальных предпоследних цифр разберите самостоятельно.
URL
30.03.2011 в 21:00

Новый гость
Легко на самом деле выйти из дома в лес математики, но лишь немногие смогли оттуда вернуться. Гуго Штейнгауз
Диана Шипилова Такого не может быть. При чём здесь единица? Что изменится, если поставить 2, 3, 4 и т.д. (в числе `x`)? Предпоследняя цифра так и будет чётной, значит, и последняя тоже должна быть чётной, т.к. последняя и предпоследняя цифры одинаковы по условию. Поэтому берём в числе `x` только те цифры в качестве последней, при которых последняя цифра числа `x^2` будет чётной, т.е. чётные цифры. Соответственно в числе `x^2` последней и предпоследней цифрой могут быть 0, 4 или 6.
URL
30.03.2011 в 21:04

Гость
Новый гость Если число оканчивается на 4 или на 6, то предпоследняя цифра его квадрата нечетна. Этот факт докажите самостоятельно.
URL
30.03.2011 в 21:06

Новый гость
Легко на самом деле выйти из дома в лес математики, но лишь немногие смогли оттуда вернуться. Гуго Штейнгауз
Где я ошибаюсь? Объясните, пожалуйста.
URL
30.03.2011 в 21:07

Новый гость
Легко на самом деле выйти из дома в лес математики, но лишь немногие смогли оттуда вернуться. Гуго Штейнгауз
Я запутался. Начну сначала после того, как исключил 2, 3, 7, 8.
Что делать?
URL
30.03.2011 в 21:16

Гость
Для начала:
1. Доказать, что если последняя цифра числа нечетна, то предпоследняя цифра квадрата всегда четна.
2. Доказать, что если последняя цифра числа 4 или 6, то предпоследняя цифра квадрата всегда нечетна.

Для продолжения:
1. Выписать возможные оставшиеся последние цифры числа и его квадрата.
2. Начать думать (это требуется с самого начала)
URL
30.03.2011 в 21:24

Диана Шипилова
Quod erat demonstrandum
Такого не может быть. При чём здесь единица?
Мы рассматривали только случай `(10x +- 1)^2`. Последняя цифра квадрата будет именно единицей. Посмотрите, в конце концов, на свой комментарий в 9:52.
Дальше присмотритесь к советам Гостя.
URL
30.03.2011 в 21:41

Новый гость
Легко на самом деле выйти из дома в лес математики, но лишь немногие смогли оттуда вернуться. Гуго Штейнгауз
Для начала: 1. Доказать, что если последняя цифра числа нечетна, то предпоследняя цифра квадрата всегда четна.
Пусть `n`- некое число, тогда `x=10n+m`, где `m in {1; 3; 5; 7; 9}`.
Случаи:
1. `m=1` `=>` `x^2=100n^2+20n+1=10(10n^2+2n)+1`. Предпоследняя цифра чётна.
2. `m=3` `=>` `x^2=100n^2+60n+9=10(10n^2+6n)+9`. Предпоследняя цифра чётна.
3. `m=5` `=>` `x^2=100n^2+100n+25=10(10n^2+10n+2)+5`. Предпоследняя цифра чётна.
4. `m=7` `=>` `x^2=100n^2+140n+49=10(10n^2+14n+4)+9`. Предпоследняя цифра чётна.
5. `m=9` `=>` `x^2=100n^2+180n+81=10(10n^2+18n+8)+1`. Предпоследняя цифра чётна.
Таким образом, если последняя цифра числа нечетна, то предпоследняя цифра квадрата всегда четна. Поэтому у квадрата две последние цифры будут различными, из этого следует, что квадрат не оканчивается на нечётные цифры.
Остаются цифры 0, 4, 6.

2. Доказать, что если последняя цифра числа 4 или 6, то предпоследняя цифра квадрата всегда нечетна.
Понял почему, просто не пишу - аналогично случаям выше доказывается.
Итак, остался 0. Поэтому `c=0`.

Значит, `x^2` делится на 100, а `x` делится на `10`.
Пусть `x=10y`, где `y` - некоторое число, квадрат которого является четырёхзначным числом вида `y^2=bar{a a b b}`.
Странно, но получается, что `a=b=0` аналогично предыдущему случаю (если исключать также цифры), что противоречит условию.
Поэтому требуемое выполнить невозможно.
Ответ: таких чисел нет.
Ответ неверный.
URL
30.03.2011 в 21:45

Новый гость
Легко на самом деле выйти из дома в лес математики, но лишь немногие смогли оттуда вернуться. Гуго Штейнгауз
Где же у меня ошибка и что мне делать?
URL
30.03.2011 в 21:49

Диана Шипилова
Quod erat demonstrandum
Итак, остался 0.
Нет!
Не путайте последнюю цифру числа и последнюю цифру квадрата.
Не исключайте четвёрку.
URL
30.03.2011 в 21:50

Новый гость
Легко на самом деле выйти из дома в лес математики, но лишь немногие смогли оттуда вернуться. Гуго Штейнгауз
Странно. Почему вышеизложенные рассуждения можно было применять для рассмотрения последних двух цифр шестизначного числа, а для рассмотрения последних двух цифр четырёхзначного числа уже нельзя?
URL
30.03.2011 в 21:53

Новый гость
Легко на самом деле выйти из дома в лес математики, но лишь немногие смогли оттуда вернуться. Гуго Штейнгауз
А, значит, нужно исключить `c=6`?
Значит, остаётся 4 и 0 в качестве `c`. Что делать дальше?
URL
30.03.2011 в 21:54

Диана Шипилова
Quod erat demonstrandum
Почему вышеизложенные рассуждения можно было применять для рассмотрения последних двух цифр шестизначного числа
Кто вам сказал, что можно? Рассуждение неверно. Ни для шестизначного, ни для четырёхзначного числа.
URL
30.03.2011 в 21:56

Диана Шипилова
Quod erat demonstrandum
Да, последний комментарий правильный.
Что делать дальше?
Думать.
URL
30.03.2011 в 22:00

Новый гость
Легко на самом деле выйти из дома в лес математики, но лишь немногие смогли оттуда вернуться. Гуго Штейнгауз
Кто вам сказал, что можно? Рассуждение неверно. Ни для шестизначного, ни для четырёхзначного числа. Этот вопрос уже снят, я прочитал Ваш комментарий после того, как отправил его.

Думать. Ничего не придумывается. Что делать?
URL
30.03.2011 в 22:06

Диана Шипилова
Quod erat demonstrandum
Решать С1.
URL
30.03.2011 в 22:08

Новый гость
Легко на самом деле выйти из дома в лес математики, но лишь немногие смогли оттуда вернуться. Гуго Штейнгауз
При чём тут С1? Я ещё с этой не закончил. Подскажите, пожалуйста, следующий шаг.
URL
30.03.2011 в 22:10

Гость
Новый гость Исходное число может оканчиваться на 0, 2 или 8 (остальные цифры вроде уже исключили), а квадрат - на 0 или 4.
Примеры того, что такое возможно: `10^2=100`, `12^2=144`, `38^2=1444`. Но эти примеры просто показывают, что существуют квадраты, оканчивающиеся на 00 и 44 и последняя цифра исходного числа может быть и 0 и 2 и 8. Эти примеры не являются решением задачи.

Возьмите случай, когда квадрат оканчивается на `00`, тогда, очевидно, что число `x` оканчивается на 0. Поэтому можно рассмотреть квадрат числа `x=10y`, его квадрат должен записываться `bar(aab b00)`. Какие рассуждения можно провести здесь?
URL
30.03.2011 в 22:15

Диана Шипилова
Quod erat demonstrandum
При чём тут С1?
При том, что вы не набрали полные баллы за С1 в тренинге. Они у вас должны уже решаться автоматически.
Подскажите, пожалуйста, следующий шаг.
В 21:53 вы написали: Значит, остаётся 4 и 0 в качестве `c`. Что делать дальше?
Семь минут спустя вы написали: Ничего не придумывается.
Подумайте ещё в спокойной обстановке. Я временно закрываю комментарии. Открою утром. Если решите раньше, откройте сами и напишите, что получилось.
URL
30.03.2011 в 22:17

Новый гость
Легко на самом деле выйти из дома в лес математики, но лишь немногие смогли оттуда вернуться. Гуго Штейнгауз
Ладно, завтра вернусь к задаче.
откройте сами - каким образом?
URL