пятница, 28 января 2011
22:38

Исследовать на равномерную сходимость

все записи пользователя в сообществе alexa125
1) Исследовать на равномерную сходимость
`sum_(n=1)^(oo) sin^2[(sqrt(x))/(1+x*n^2)], x in [0; +oo]`
2) Исследовать на сходимость и равномерную сходимость функциональную последовательность

`f_n(x) = ln(sin(x) + 1/n)`
`E_1 = (0; pi/6); E_2 = (pi/6; pi/2)`
В этих примерах мне использовать признак Вейштрасса? Помогите, пожалуйста, разобраться.

@темы: Ряды

URL
Комментарии
28.01.2011 в 22:42

_ТошА_
Всё должно быть сделано настолько простым, насколько это возможно, но не проще. А. Энштейн
Ну и что у вас не получается?
Так, пишите определение равномерной сх-ти ряда. Давайте
URL
28.01.2011 в 22:52

alexa125
Да ничего не получается:( Я из рядов только Признак Даламбера люблю и Тейлора, а остальные..
Пишу: Равномерная сходимость функционального ряда – это равномерная сходимость последовательности его частичных сумм Sn(x) к сумме ряда S(x) на X.
URL
28.01.2011 в 22:56

_ТошА_
Всё должно быть сделано настолько простым, насколько это возможно, но не проще. А. Энштейн
Ох вода водой.
`AA epsilon > 0` существует `n_0`: `AA n > n_0` `|S_n - S| < epsilon` `AA x in X`
URL
28.01.2011 в 22:58

_ТошА_
Всё должно быть сделано настолько простым, насколько это возможно, но не проще. А. Энштейн
Вот и давайте думать. Ряд у нас с положительными членами. Значит можно упрощать себе работу.
Эквивалентный ряд очевиден: `a_n(x) = ((sqrt(x))/(1 + n^2x))^2`

Ну вот. Теперь можно Вейерштрассом попробовать, или в лоб по определению
URL
28.01.2011 в 23:02

alexa125
Последовательность fn(x) равномерно сходится к f(x) при n->∞ на множестве X, если для любого эпсилон больше нуля сеществует Nэ

Напишу в MathTape:
URL
28.01.2011 в 23:05

_ТошА_
Всё должно быть сделано настолько простым, насколько это возможно, но не проще. А. Энштейн
`AA x in X`
Разберитесь с рядом сначала
URL
28.01.2011 в 23:05

alexa125
_ТошА_ - я это и хотела написать (ла):) Спасибо:)
URL
28.01.2011 в 23:09

_ТошА_
Всё должно быть сделано настолько простым, насколько это возможно, но не проще. А. Энштейн
Кстати ряд за секунду оценивается.
URL
28.01.2011 в 23:12

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
alexa125
Вы не в первый раз в сообществе
Наберите условие текстом.
Картинки имеют обыкновение исчезать
====
По правилам условие (не решение) выкладывается в текстовом формате, а формулы в формате скрипта

Пользовательский скрипт для отображения формул И Help по набору формул
URL
28.01.2011 в 23:16

alexa125
Да, sin^2(x) можно откинуть и находить аn(x).
Признак Вейерштрасса:
Значит, у нас x от нуля до +∞.
|an(x)|<=1/n^4=bn

Т.к. ряд, составленный из чисел bn сходится, то по признаку Вейерштрасса сходится равномерно на всей оси.
URL
28.01.2011 в 23:18

alexa125
Robot, извините, сейчас наберу.
URL
28.01.2011 в 23:18

_ТошА_
Всё должно быть сделано настолько простым, насколько это возможно, но не проще. А. Энштейн
А как вы это оценили? Докажите выкладками
URL
28.01.2011 в 23:19

alexa125
Кстати ряд за секунду оценивается. - я так не умею, пока:(
URL
28.01.2011 в 23:20

_ТошА_
Всё должно быть сделано настолько простым, насколько это возможно, но не проще. А. Энштейн
alexa125 выкладками докажите свою оценку
URL
28.01.2011 в 23:33

alexa125
Так как у нас x от нуля до +∞. Нужно взять такое x*? чтобы оно входило в этот промежуток и чтобы подставляя в функцию у нас легко считалось.
Берем x*=n^2
n>0
Подставляем и получаем: 1/n^4
URL
28.01.2011 в 23:36

_ТошА_
Всё должно быть сделано настолько простым, насколько это возможно, но не проще. А. Энштейн
Вы так все иксы будете перебирать?
Самое важное в определении, что для всех х это выполнено. А вы доказали лишь для конкретного. Так что неверно
URL
28.01.2011 в 23:39

alexa125
Так, я ж взяла такое x? чтобы оно входило в промежуток, который дан был. Без разницы какое x? главное, чтобы он входил в промежуток.
URL
28.01.2011 в 23:40

_ТошА_
Всё должно быть сделано настолько простым, насколько это возможно, но не проще. А. Энштейн
и что? Ну да, если x = n^2 то всё хорошо. А если x = n^2 - 1, а если n^2 - 2?
Вы поймите, надо доказать, что для всех х это выполнено, а не для одного конкретного
URL
28.01.2011 в 23:45

alexa125
Я это понимаю, только как мне в общем виде написать - не знаю..
URL
28.01.2011 в 23:48

_ТошА_
Всё должно быть сделано настолько простым, насколько это возможно, но не проще. А. Энштейн
Понимаете, так зачем пишите непонятно что.
Оценка лёгкая. По неравенству Коши: `1 + n^2x >= 2nsqrt(x)`
Отсюда:
`a_n <= (1/(2n))^2 = 1/(4n^2)`
А этот ряд сходится. Вот и всё. А оценка, что я написал, верна для любого икса из промежутка.
Видите, всё просто
URL
28.01.2011 в 23:48

alexa125
Нам нужно избавится от x, так как теорема Вейштрасса глачит о том, что последовательность числовая. так как x от нуля до +∞, а нам нужно брать наибольшее, то это +∞ и как эту +∞ подставлять тогда?
URL
28.01.2011 в 23:49

_ТошА_
Всё должно быть сделано настолько простым, насколько это возможно, но не проще. А. Энштейн
alexa125 Я выше написал
URL
28.01.2011 в 23:50

alexa125
Мда, Вейерштрасс сбил меня.. Спасибо:)
URL
28.01.2011 в 23:51

_ТошА_
Всё должно быть сделано настолько простым, насколько это возможно, но не проще. А. Энштейн
Это и есть Вейерштрасс. Мы оценили как раз числовым сходящимся рядом
URL
29.01.2011 в 00:01

alexa125
Да, но сначала Коши. Второй я сама решу:)
URL
29.01.2011 в 00:04

_ТошА_
Всё должно быть сделано настолько простым, насколько это возможно, но не проще. А. Энштейн
Это неравенство Коши. К рядам не имеет никакого отношения. Успехов.
Подскажу. На втором промежутке сходится равномерно, на первом расходится. Ну это на глаз
URL