Найти частное решение дифференциального уравнения `y prime prime - 4y prime + 13y=26x+5`; `y(0)=1` , `y'(0)=0.
Решение:
1 Записываем соответствующее однородное уравнение
`y''-4y'+13y=0`
и ищем его решение в виде `e^(kx)` , где k – неизвестное число.
Подставляя `e^(kx)`, `ke^(kx)` и `k^2e^(kx)` в уравнение и сокращая `e^(kx)`, получаем так называемое характеристическое уравнение
`k^2-4k+13=0`
2 Решаем характеристическое уравнение. Обозначим корни характеристического уравнения `k_1` и `k_2`
`k_1` и `k_2`комплексные, т.е. `k_1=2+3i`и `k_2=2-3i` , то фундаментальная система решений – это
`y_1=e^(2x)cos3x` и `y_2=e^(2x)cos3x`
и общее решение имеет вид: `y_oo=e^(2x)(C_1cos3x+C_2sin3x)`
3 Ищем какое-либо частное решение неоднородного уравнения???
Что дальше делать объясните я вообще не понимаю)))
Решение:
1 Записываем соответствующее однородное уравнение
`y''-4y'+13y=0`
и ищем его решение в виде `e^(kx)` , где k – неизвестное число.
Подставляя `e^(kx)`, `ke^(kx)` и `k^2e^(kx)` в уравнение и сокращая `e^(kx)`, получаем так называемое характеристическое уравнение
`k^2-4k+13=0`
2 Решаем характеристическое уравнение. Обозначим корни характеристического уравнения `k_1` и `k_2`
`k_1` и `k_2`комплексные, т.е. `k_1=2+3i`и `k_2=2-3i` , то фундаментальная система решений – это
`y_1=e^(2x)cos3x` и `y_2=e^(2x)cos3x`
и общее решение имеет вид: `y_oo=e^(2x)(C_1cos3x+C_2sin3x)`
3 Ищем какое-либо частное решение неоднородного уравнения???
Что дальше делать объясните я вообще не понимаю)))
-
-
18.01.2011 в 19:58-
-
18.01.2011 в 20:05Самый общий вид ф-ии, стоящей справа может быть
`f(x) = e^(ax)(Q_m(x)sin(bx) + T_n(x)cos(bx))`
`m = deg(Q)`
`n = deg(T)`
Заметим, что может присутствовать только синус, только косинус (многочлены могут быть равны нулю), либо только `e` (случай вещественных корней), либо другие врианты
Итак алгоритм:
1) Составляем число `z = a + bi`
2) Проверяем, является ли `z` корнем характеристического полинома `p(lambda)`
3) Вводим параметр `k`:
`k = 0` если `p(z)!=0`
`k = ` кратность корня `z` в другом случае.
4) Частное решение записывается в виде:
`y = x^k*e^(ax)*(G_l(x)sin(bx) + K_l(x)cos(bx))`
где `l = max(m, n)`
G и K ищутся методом неопр. коэффициентов
-
-
18.01.2011 в 20:11Решение однородного ур-я имеет вид:
`sum_(i = 1)^(n)c_i*xi_i`
`c_i in R`
Частное решение ищется в виде:
`sum_(i = 1)^n c_i(x)*xi_i`
`c_i` - функция
Ищется таким образом. Составляется система уравнений:
`c_1'xi_1 + c_2'xi_2 + ... + c_n'xi_n = 0`
`c_1'xi_1' + c_2'xi_2' + ... + c_n'xi_n' = 0`
........
........
`c_1'xi_(1)^(n - 1) + c_2'xi_2^(n - 1) + ... + c_nxi_n^(n - 1) = f(x)`
Решается система, находятся `c_1 ... c_n` и всё