| Всероссийская олимпиада школьников в Республике Крым |
Задания 2014/15 у.г.
7 класс
1. Два десятка лимонов стоят столько же рублей, сколько дают лимонов на 500 рублей. Сколько стоит десяток лимонов?
2. После возвращения цирка с гастролей, знакомые расспрашивали дрессировщика Казимира Алмазова о пассажирах его автофургона. -- Тигры были? -- Да, причем их было в семь раз больше, чем не тигров. -- А обезьяны? -- Да, их было в семь раз меньше, чем не обезьян. -- А львы были? Ответьте за Казимира Алмазова.
3. Придумайте, как с помощью шаблона угла величиной 27 градусов отмерить угол величиной в 9 градусов.
4. На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник $5\times9$. В левом нижнем углу стоит фишка. Коля и Серёжа по очереди передвигают ее на любое количество клеток либо вправо, либо вверх. Первым ходит Коля. Выигрывает тот, кто поставит фишку в правый верхний угол. Кто выигрывает при правильной игре?
5. Известно, что $x$, $y$ и $z$ -- различные составные натуральные числа, но каждое из них не делится, ни на одно из целых чисел от 2 до 16 включительно. Докажите, что если эти числа -- наименьшие из возможных, то их произведение $xyz$ является кубом натурального числа.
8 класс
1. В формулу линейной функции $y = kx + b$ вместо букв $k$ и $b$ впишите числа от 1 до 20 (каждое по одному разу) так, чтобы получилось 10 функций, графики которых проходят через одну и ту же точку.
2. КОТ МАТРОСКИН и ПЕС ШАРИК разделили между собой выручку от продажи молока населению и каждый забрал свою долю. МАТРОСКИН подумал: если бы я взял денег на 40\% больше, то доля ШАРИКА уменьшилась бы на 60\%. А как изменилась бы доля ШАРИКА, если бы МАТРОСКИН взял себе денег на 50\% больше?
3. Один из углов треугольника на $120^\circ$ больше другого. Докажите, что биссектриса треугольника, проведённая из вершины третьего угла, вдвое длиннее, чем высота, проведенная из той же вершины.
4. Докажите, что число
$2014^{2016}+27$
является составным.
5. На столе белой стороной кверху лежали 120 карточек, у каждой из которых одна сторона белая, а другая чёрная. Миша перевернул 75 карточек, затем Ваня перевернул 35 карточек, а после этого Петя -- 60 карточек. Оказалось, что в результате все 120 карточек лежат чёрной стороной вверх. Сколько карточек было перевёрнуто трижды?
9 класс
1. Существуют ли нечетные целые числа $x$, $y$ и $z$, удовлетворяющие равенству
$(x + y)^2 + (x + z)^2 = (y + z)^2$?
2. Может ли вершина параболы $y = 4x^2 - 4(a + 1)x + a$ лежать во второй координатной четверти при каком-нибудь значении $a$?
3. Имеется 10 пустых больших коробок. В некоторые из них положили по 11 пустых средних коробок, а в некоторые средние -- по 11 пустых маленьких коробок. Всего оказалось 120 коробок. Сколько среди них пустых коробок?
4. Точка $M$ лежит на стороне $BC$ треугольника $ABC$. Известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник $ABM$, в два раза больше радиуса окружности, вписанной в треугольник $ACM$. Может ли отрезок $AM$ оказаться медианой треугольника $ABC$?
5. На доске были записаны числа 3, 9 и 15. Разрешалось сложить два записанных числа, вычесть из этой суммы третье, а результат записать на доску вместо того числа, которое вычиталось. После многократного выполнения такой операции на доске оказались три числа, наименьшее из которых было 2015. Какими были два остальных числа?
10 класс
1. Решите уравнение $(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=2014$ в целых числах.
2. В первый день Маша собрала на 25\% грибов меньше, чем Вася, а во второй -- на 20\% больше, чем Вася. За два дня Маша собрала грибов на 10\% больше, чем Вася. Какое наименьшее количество грибов они могли собрать вместе?
3. Дана равнобокая трапеция $ABCD$ ($AD \parallel BC$). На дуге $AD$ (не содержащей точек $B$ и $C$) описанной окружности этой трапеции произвольно выбрана точка $M$. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из вершин $A$ и $D$ на отрезки $BM$ и $CM$, лежат на одной окружности.
4. На рисунке изображен график функции $y = x^2 + ax + b$. Известно, что прямая $AB$ перпендикулярна прямой $y = x$. Найдите длину отрезка $OC$.
5. Кольцевая дорога поделена столбами на километровые участки, и известно, что количество столбов чётно. Один из столбов покрашен в жёлтый цвет, другой – в синий, а остальные – в белый. Назовем расстоянием между столбами длину кратчайшей из двух соединяющих их дуг. Найдите расстояние от синего столба до жёлтого, если сумма расстояний от синего столба до белых равна 2014 км.
11 класс
1. Про углы треугольника $ABC$ известно, что $\sin A + \cos B = \sqrt 2$ и $\cos A + \sin B = \sqrt 2$. Найдите величину угла $C$.
2. Решите уравнение: $(x^3-2)(2^{\sin x}-1) + (2^{x^3}-4) \cdot \sin x = 0.$
3. Функция $f(x)$ такова, что для всех значений $x$ выполняется равенство
$f(x + 1) = f(x) + 2x + 3.$
Известно, что $f(0) = 1$. Найдите $f(2014)$.
4. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отмечена точка $K$, а на стороне $AC$ -- точка $M$. Отрезки $BM$ и $CK$ пересекаются в точке $P$. Оказалось, что углы $APB$, $BPC$ и $CPA$ равны по $120^\circ$, а площадь четырёхугольника $AKPM$ равна площади треугольника $BPC$. Найдите угол $BAC$.
5. Два преподавателя получили два одинаковых набора экзаменационных билетов, написанных на карточках: по 35 карточек с билетами каждый. Первый перемешал свои карточки и положил их стопкой на стол, потом второй перемешал свои карточки и положил их стопкой сверху на первую стопку. Они подсчитали количество карточек, расположенных между парами карточек с одинаковыми билетами и сложили полученные результаты (35 чисел). Какую наибольшую сумму они могли получить?
Задания 2016/17 в комментариях