Дано целое число $n \geq 5.$ Найдите наибольшее целое число $k$ (как функцию от $n$) такое, что существует выпуклый $n$-угольник $A_{1}A_{2}\dots A_{n},$ в котором ровно в $k$ четырехугольников $A_{i}A_{i+1}A_{i+2}A_{i+3}$ можно вписать окружность. (Здесь $A_{n+j} = A_{j}$.) |  |
Под обрезанием выпуклого $n$-угольника будем понимать выбор пары смежных сторон $AB, BC$ и замены их на отрезки $AM, MN,$ и $NC,$ где $M$ --- середина $AB$ и $N$ --- середина $BC.$ Другими словами, мы отрезаем треугольник $MBN$ для получения выпуклого $(n+1)$-угольника. Правильный шестиугольник $P_6$ площади $1$ обрезается для получения семиугольника $P_7.$ Далее $P_7$ снова обрезается (одним из семи возможных способов) и получается восьмиугольник $P_8,$ et cetera. Докажите, что, вне зависимости от выбора вариантов обрезания, площадь $P_n$ больше $\frac{1}{3}$ для всех $n\ge6$. | |
Найдите с обоснованием количество положительных целых чисел таких, что их представление в системе счисления с основанием $n$ состоит из различных цифр и все цифры, за исключением самой левой, отличаются на $\pm 1$ от некоторой цифры, стоящей слева от неё. (Ответ должен быть представлен в виде зависящей от $n$ функции.) | |
В некотором государстве начали производство регистрационных знаков, состоящих из шести цифр (от 0 до 9). Государство требует, чтобы любые два знака отличались по крайней мере в двух позициях. (Так может использоваться только один из знаков ${027592}$ и ${020592}$.) Определите с обоснованием наибольшее количество регистрационных знаков, которые могут использоваться в этом государстве. | |
Сколькими способами можно покрасить клетки шахматной доски размером `m xx n,` так, что каждая клетка покрашена в один из четырёх цветов и в каждом квадрате `2xx2` есть клетки четырёх разных цветов? |  |
