Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


На плоскости изображены две разные окружности $K_1$ и $K_2.$ Они пересекаются в точках $A$ и $B$, где $AB$ диаметр $K_1$. Точка $P$ принадлежит $K_2$ и находится внутри $K_1.$

Для построения разрешается использовать только ``T-квадрат'' (то есть инструмент для построения прямой линии через две точки и перпендикуляра к прямой, проходящего через точку, лежащую как на прямой, так и вне её). Постройте точки $C$ и $D$ на окружности $K_1$ такие, что $CD$ перпендикулярна $AB$ и $\angle CPD$ является прямым.





@темы: Планиметрия

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Для какого наименьшего целого числа $n > 1$ среднее квадратичное первых $n$ положительных целых чисел является целым числом?

Примечание. Среднее квадратичное $n$ чисел $a_1, a_2, \cdots, a_n$ это число
$\left[\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}n\right]^{1/2}$




@темы: Теория чисел

23:20

1.59

Я вам вот что скажу: кто не согласен с моей точкой зрения, тот и на другие подлости способен.
Пользуясь приведенным рисунком, докажите формулу для углов треугольника: $\tg \alpha + \tg \beta + \tg \gamma = \tg\alpha \cdot \tg\beta \cdot \tg\gamma.$



@темы: Головоломки и занимательные задачи

Я вам вот что скажу: кто не согласен с моей точкой зрения, тот и на другие подлости способен.
Настоящее пособие содержит теоретический материал, подборку задач, а также идеи, указания (подсказки) и решения задач.
Рекомендуется школьникам при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ (базовый уровень и первая часть профильного уровня), учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов.

vk.com/club90389798?w=wall-90389798_49456

@темы: Головоломки и занимательные задачи

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Как это часто бывает, слушая доклад о вкусной и здоровой пище, каждый из пяти математиков засыпал дважды и каждая пара математиков в какой-то момент спала одновременно. Докажите, что в какой-то момент времени одновременно спали трое.





@темы: Дискретная математика

Я вам вот что скажу: кто не согласен с моей точкой зрения, тот и на другие подлости способен.
Я вам вот что скажу: кто не согласен с моей точкой зрения, тот и на другие подлости способен.
Кушнир И.А. Замечательная точка W - Днепр: Середняк Т. К, 2017, - 260 с.

Книга известного автора посвящена замечательной точке Wi и отрезку АWi 0=1,2,3). Новые задачи вызовут интерес у широкого круга читателей, увлеченных геометрией, созданной автором.

libgen.st/book/index.php?md5=E0EA8FCBA604AA974E...

@темы: Головоломки и занимательные задачи

Я вам вот что скажу: кто не согласен с моей точкой зрения, тот и на другие подлости способен.
к сборнику Фомин Д. В. Санкт-Петербургские математические олимпиады.— СПб.: Политехника, 1994. — 309 с: ил.

Гаращук K. Задачи Ленинградских математических олимпиад для пятиклассников: 1979-1992 - Springer, 2020. — 178 p.

This unique book presents mathematical competition problems primarily aimed at upper elementary school students, but are challenging for students at any age. These problems are drawn from the complete papers of the legendary Leningrad Mathematical Olympiads that were presented to the city’s Grade Five students. The period covered is between 1979 – the earliest year for which relevant records could be retrieved – and 1992, when the former Soviet Union was dissolved. The respective chapters reflect the famous four-step approach to problem solving developed by the great Hungarian mathematics educator Gyorgy Pólya. In Chapter One, the Grade Five Competition problems from the Leningrad Mathematical Olympiads from 1979 to 1992 are presented in chronological order. In Chapter Two, the 83 problems are loosely divided into 26 sets of three or four related problems, and an example is provided for each one. Chapter Three provides full solutions to all problems, while Chapter Four offers generalizations of the problems.
This book can be used by any mathematically advanced student at the upper elementary school level. Teachers and organizers of outreach activities such as mathematical circles will also find this book useful. But the primary value of the book lies in the problems themselves, which were crafted by experts; therefore, anyone interested in problem solving will find this book a welcome addition to their library.

libgen.st/book/index.php?md5=929CFABEC3568F2E55...

1979.1. На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник 13 × 7. Вырежьте из него 15 прямоугольников размерами 2 × 3.

1979.1. Pack fifteen 2 × 3 chocolate pieces into a 7 × 13 box, leaving a 1 × 1 hole.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


a) Существуют ли 14 последовательных положительных целых чисел, каждое из которых делится на одно или большее количество простых чисел $p$ из интервала $2\le p \le 11$?

b) Существует ли 21 последовательное положительное целое число, каждое из которых делится на одно или большее количество простых чисел $p$ из интервала $2\le p \le 13$?





@темы: Теория чисел

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Дана функция $f(x) = x^2 - 45x + 2.$ Найдите все целые числа $n \ge 2$ такие, что ровно одно из чисел \[f(1), f(2), \ldots, f(n)\] делится на $n.$




@темы: Теория чисел

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Вдоль кругового трека длиной 1 километр на равных расстояниях стоят 1000 спортсменов.
(a) Сколькими способами можно разбить спортсменов на 500 пар так, чтобы расстояние (вдоль трека) между членами каждой пары было равно 335 метрам?
(b) Сколькими способами можно разделить спортсменов на 500 пар так, чтобы расстояние (вдоль трека) между членами каждой пары было равно 336 метрам?




@темы: Комбинаторика

Не могу решить следующую задачу: Вписанная окружность треугольника АВС касается его сторон АВ, ВС и СА в точках P, Q и Т соответсвенно. Точки М и N - середины соответсвенно отрезков АР и ВР. Известно, что TM II QN,АС = 9, ВС = 7. Найти длину стороны АВ и радиус вписанной окружности треугольника АВС.

@темы: Задачи вступительных экзаменов

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Окружности $K_1$ и $K_2$ пересекаются в двух различных точках $A$ и $M.$ Касательная к $K_1$ в точке $A$ пересекает повторно $K_2$ в точке $B,$ касательная к $K_2$ в точке $A$ пересекает $K_1$ повторно в точке $D.$ Пусть $C$ --- точка, такая что $M$ --- середина $AC.$ Докажите, что вершины четырехугольника $ABCD$ лежат на одной окружности.




@темы: Планиметрия

Я вам вот что скажу: кто не согласен с моей точкой зрения, тот и на другие подлости способен.
Статуя Чингисхана в Цонжин-Болдоге

Статуя Чингисхана расположена в 54 км к юго-востоку от центра Улан-Батора в местности Цонжин-Болдог, которая административно входит в состав улан-баторского городского административного района Налайх, недалеко от границы с аймаком Туве недалеко от берега реки Туул, в месте, где, согласно устному преданию, Чингис нашёл золотую плётку. Автор проекта статуи — скульптор Дулийн Эрдэнэбилэг, при участии архитектора Ж. Энхжаргала. Официальное открытие монумента состоялось 26 сентября 2008 года.

Высота статуи — 40 м без учёта десятиметрового постамента. Изваяние покрыто нержавеющей сталью весом 250 тонн и окружено 36 колоннами, символизирующими ханов Монгольской империи от Чингиса до Лигдэн-хана. В двухэтажном постаменте размещаются художественная галерея, музей эпохи хунну, бильярдная, рестораны, сувенирная лавка и конференц-зал. На голове лошади располагается смотровая площадка. В левом копыте лошади находится тематический концертный зал, особенностью которого является отсутствие сидений: места в зале занимаются верхом на лошади. В правом копыте можно взять лошадь напрокат.



Рациональное число назовем хорошим, если существуют натуральные числа $a$, $b$ такие, что рациональное число равно $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$.

(i) Покажите, что любое натуральное число $n \ge 4$ может быть представлено в виде суммы нескольких хороших чисел.
(ii) В виде суммы какого наименьшего количества хороших чисел может быть представлено число $n = 57$?

@темы: Головоломки и занимательные задачи

14:39

Грубые

Я вам вот что скажу: кто не согласен с моей точкой зрения, тот и на другие подлости способен.
В Сербии состоялась 15-я Сербская математическая олимпиада. В ней приняли участие гости из Боснии и Герцеговины, Македонии, Черногории.



Выпуклый четырехугольник $ABCD$ назовем грубым, если найдется выпуклый четырехугольник $PQRS$, все точки которого лежат внутри или на сторонах четырехугольника $ABCD$, такой, что сумма длин диагоналей $PQRS$ больше суммы длин диагоналей $ABCD$.

Пусть $r>0$ --- действительное число. Пусть выпуклый четырехугольник $ABCD$ не является грубым, но каждый четырех угольник $A'BCD$ такой, что $A'\neq A$ и $A'A\leq r$, является грубым. Найдите все возможные значения большего угла $ABCD$.



@темы: Планиметрия

Я вам вот что скажу: кто не согласен с моей точкой зрения, тот и на другие подлости способен.
Я вам вот что скажу: кто не согласен с моей точкой зрения, тот и на другие подлости способен.
В Кирове установили памятник Сатане.



В Кирове завершился 56 уральский турнир юных математиков.

Задачи, результаты: guas.info

Диагонали вписанного четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $F$, а лучи $BA$ и $CD$ -- в точке $E$. Середины отрезков $EF$, $BF$ и $BC$ -- точки $G$, $H$ и $I$ соответственно. Докажите, что $\angle GFD=\angle GIH$.

@темы: Планиметрия

18:05

Сумма

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Найдите количество положительных целых чисел `n` меньших 1\,000\,000, для которых сумма
`\frac{1}{2 * \lfloor \sqrt{1} \rfloor + 1} + \frac{1}{2 * \lfloor \sqrt{2} \rfloor + 1} + \frac{1}{2 * \lfloor \sqrt{3} \rfloor + 1} + \cdots + \frac{1}{2 * \lfloor \sqrt{n} \rfloor + 1}`
является целым числом.
(Отметим, что `\lfloor x \rfloor` обозначает наибольшее целое число меньшее или равное `x`.)




@темы: Теория чисел

Я вам вот что скажу: кто не согласен с моей точкой зрения, тот и на другие подлости способен.
Не знаю как кому, но мне сайты типа problems.ru или zadachi.mccme.ru напоминают кладбища, где рядом с каждой могилой установлена табличка с информацией о семье усопшего. Гораздо симпатичнее сайты, на которых имеются не только перечни задач, но и места для их обсуждения. Большого количества отечественных примеров я не знаю, поговорим про artofproblemsolving.com. В последнее время пользователи сайта с маниакальным упорством собирают задачи разных соревнований, из России тащат все, вплоть до задач олимпиад, которые проводятся в отдельных школах.

Впрочем, есть и хорошие новости. В 2018 году отдельные арабские страны бойкотировали Катар и седьмая олимпиада стран залива не состоялась, но состоялась первая арабская олимпиада. В 2019 году прошла седьмая олимпиада стран залива, а в 2020 - вторая арабская олимпиада.



Дан непрямоугольный треугольник $ABC$, точка $H$ - основание высоты проведенной из вершины $A$. Пусть $I, J, K$ обозначают середины отрезков $AB,AC$ and $IJ$. Покажите, что если окружность $c_1$, проходящая через точку $K$ и касающаяся прямой $AB$ в точке $I$, и окружность $c_2$, проходящая через точку $K$ и касающаяся прямой $AC$ в точке $J$, пересекаются повторно в точке $K'$ , то точки $H,K$ и $K'$ лежат на одной прямой.

Остается поблагодарить собирателей с artofproblemsolving.com.



@темы: Планиметрия

Я вам вот что скажу: кто не согласен с моей точкой зрения, тот и на другие подлости способен.
упоминалась публикация Останин П.А., Терешин Д.А., Королев Н.Ю. Планиметрия в задачах - М., МФТИ, 2021, 400 стр.

читать дальше



1. Две высоты треугольника равны. Докажите, что треугольник равнобедренный.

Указания и подсказки

1. Воспользуйтесь формулой для вычисления площади треугольника: она равна половине произведения высоты на основание.

Непонятно, зачем Г. Остер использует такой сложный пседоним.

@темы: Литература