Пусть `P(x,\ y) \equiv f(f(x) + x*f(y)) = 3*f(x) + 4*x*y`, тогда `AA x AA y P(x,\ y)`.
`P(1,\ y) => f(f(1) + f(y)) = 3f(1) + 4y`, и функция `f(\cdot)` сюръективна, и `EE c :\ f(c) = 0`.
`P(c,\ x) => f(c f(x)) = 4*c*x`. Предположим, что `f(a) = f(b)`, тогда `f(c f(a)) = f(c f(b))` и `4*c*a = 4*c*b => (a - b) * c = 0`. Если `c = 0`, то `P(x,\ 0) => f(f(x)) = 3 f(x)`, и для всех `x \in E (f):\ f(x) = 3x`. Так как функция сюръективна, то `E(f) = RR` и `AA x f(x) = 3x`; эта функция не удовлетворяет исходному уравнению, следовательно, `c != 0`, и функция инъективна. Но тогда `P(c,\ 0) => f(c * f(0)) = 0 = f(c)`, и `c * f(0) = c => f(0) = 1`.
`P(-1,\ -1) => 1 = 3*f(-1) + 4 => f(-1) = -1`.
`P(-1,\ c) => f(f(-1)) = 3f(-1) - 4c => c = -1/2`.
`P(x,\ -1/2) => f(f(x)) = 3f(x) - 2x`
`P(-1/2,\ x) => f(-1/2 f(x)) = -2x`. Объединяя, получим `f(f(x)) = 3f(x) + f(-1/2 f(x))`, или, для `x = f^{-1} (t)`, `f(t) = 3t + f(-t/2)`. Сделаем замену `f(x) = g(x) + 2x`, тогда
`P(x,\ y) <=> g(g(x) + 2x + x*(g(y) + 2y)) = g(x) - 2x g(y) + 2x <=> Q(x,\ y)` и `g(t) = g(-t/2)`.

`P(0,\ 1) => f(f(0)) = 3 f(0) => f(1) = 3 => g(1) = 1, g(-2) = 1;`
`P(1,\ -1/2) => f(f(1)) = 3 f(1) - 2 => f(3) = 7 => g(3) = 1, g(-3/2) = 1`.
`Q(x,\ -3/2) => g(g(x)) = g(x)`.
`Q(g(x),\ -2) => g(g(g(x)) - g(x)) = g(g(x)) => g(0) = g(x)`, и `g(x) \equiv 1`. Окончательно,
`f(x) = 2x + 1`.