понедельник, 29 апреля 2013
08:35

Нужна помощь с интегралами.

все записи пользователя в сообществе Ferlus
Помогите пожалуйста с интегралами. Не могу решить никак.
1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
`int_0^oo (x dx)/(x^4-1)`

2.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданной в полярной системе координат:
`rho=(((cos)^2 (φ/2))^(-1)`
`phi=-pi/2`
`phi=pi/2`

3.Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями
`sqrt(x)+sqrt(y)=1`
`y>=0`
`x>=0`

@темы: Приложения определенного интеграла, Интегралы, Несобственные интегралы

URL
Комментарии
29.04.2013 в 12:29

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Ну, по порядку...

№1 - знаете определение несобственного интеграла?...
URL
29.04.2013 в 12:53

Ferlus
Я это все проходил в прошлом году, и подзабыл. поэтому решил обратиться.
Натолкните, может и сам решу
URL
29.04.2013 в 14:46

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Натолкните, может и сам решу - А на что наталкивать?... посмотрите определение в учебнике... и примените к Вашему интегралу...
Правда сначала надо ответить на вопрос - какие особенности у него есть... то есть, что делает его несобственным?....
URL
29.04.2013 в 15:30

Ferlus
я помню что он сводится к пределу из-за наличия бесконечности в интервале. но как решаются пределы, я совсем не помню.
URL
29.04.2013 в 15:58

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
из-за наличия бесконечности в интервале - Бесконечно удалённая точка - не единственная особенность Вашего интеграла...

но как решаются ВЫЧИСЛЯЮТСЯ пределы, я совсем не помню. - До вычисления пределов ещё далеко...
Сначала запишите соответствующие пределы... потом ещё интеграл посчитать надо будет...
URL
29.04.2013 в 17:39

Ferlus
как я понимаю, речь идет про первообразную подинтегральной функции?
URL
29.04.2013 в 17:41

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
как я понимаю, речь идет про первообразную подинтегральной функции? - Ну, её тоже находить надо будет...
URL
29.04.2013 в 17:46

Ferlus
ну это понятно. Я сейчас попробую порешать. позже напишу что получается.
URL
29.04.2013 в 19:56

Ferlus

вот так получается. правильно делаю?
URL
29.04.2013 в 20:04

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Так вроде в условии интеграл имеет нуль нижним пределом интегрирования...

вот так получается. правильно делаю? - Направление верное, но ошибки есть...
В частности, `x = 1` тоже особенность Вашей подынтегральной функции... её тоже надо вырезать из области интегрирования...
URL
29.04.2013 в 20:08

Ferlus
На счет нижнего предела это моя ошибка в самом начале. все таки нижний предел равен 1.
а на счет того, что нужно вырезать x=1, это у предела А будет стремиться к 1. ну и ошибка в том что вместо бесконечности в интервалах должна быть А?
URL
29.04.2013 в 20:11

Ferlus
то есть вот так?
URL
29.04.2013 в 20:17

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Здесь двойной предел получается... `lim_{A -> 1+0, \ B -> +oo} (int_{A}^{B} f(x) dx)`...
URL
29.04.2013 в 20:24

Ferlus

какя понимаю, так? тогда я совсем запутался. что же дальше?
URL
29.04.2013 в 20:32

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Так... только в единице вычисляется предел справа...
что же дальше? - вычисляйте первообразную... подставляйте в формулу Ньютона-Лейбница... и вычисляйте предел...
URL
29.04.2013 в 20:39

Ferlus

вот так?
URL
29.04.2013 в 20:44

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Можно и так... но зачем Вы логарифм расписали в разность... так неудобно будет предел на бесконечности вычислять....

В последней строке Вы пишите два предела... тогда в первом оставьте только `B -> +oo`, а во втором - `A -> 1+0` (!!! предел справа!!!)
URL
29.04.2013 в 20:47

Ferlus
про предел справа я понял.
а если деление не разбивать на разность при подстановке получается, логарифм бесконечность на бесконечность минус логарифм 0 на 1?
URL
29.04.2013 в 21:01

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
логарифм бесконечность на бесконечность - это лучше чем логарифм бесконечность минус логарифм бесконечность...
Ну, от неопределённости надо избавляться...
URL
29.04.2013 в 21:10

Ferlus
да это лучше. но вот избавиться от неопределенности. совсем не помню как это делается
URL
29.04.2013 в 21:11

Ferlus
производную взять?
URL
29.04.2013 в 21:14

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
При вычислении предела на бесконечности, например, вынести `x^2` за скобку в числителе и знаменателе...

Предел в единице вообще не имеет неопределённости... просто подставить и ответ написать...
URL
29.04.2013 в 21:21

Ferlus
во втором пределе при подстановке 1 получается же бесконечность, я прав?
а на счет выноса x^2 за скобку я чего-то не понял
URL
29.04.2013 в 21:35

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
а на счет выноса x^2 за скобку я чего-то не понял - ну, `x^2 +- 1 = x^2*(1 +- 1/{x^2})`... что-то сокращается... а остальное имеет конечные пределы...

во втором пределе при подстановке 1 получается же бесконечность, я прав? - да...
URL
29.04.2013 в 21:46

Ferlus

вот так?
URL
29.04.2013 в 21:52

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Можно и так... хотя, я конечно, оговорился... я имел ввиду `B^2` за скобки выносить и только в первом пределе... второй и так хороший...
URL
29.04.2013 в 21:53

Ferlus
ну я это понял. а что на счет ответа? минус бесконечность?
URL
29.04.2013 в 21:56

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%81%D0%BE%...
Несобственные интегралы I рода - пункт 2...
URL
29.04.2013 в 21:57

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
минус бесконечность? - ну, на самом деле `-(-oo) = +oo`...
URL
29.04.2013 в 21:58

Ferlus
то есть получается мы доказали, что интеграл расходится.
URL